We have : \(A=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\)

By Cauchy - Schwarz and AM - GM have :

\(A\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{2.\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}=\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\ge6\)

Then greatest posible of A is 6 when \(a=b=\frac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT  Bunyakovsky  ta có:

    \(\left(x+2y\right)^2=\left(x+\sqrt{2}.\sqrt{2}y\right)^2\le\left(1^2+\sqrt{2}^2\right)\left[x^2+\left(\sqrt{2}y\right)^2\right]\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+2y\right)^2\le3\left(x^2+2y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(1\le3\left(x^2+2y^2\right)\) (do  x + 2y = 1 )

\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2y^2\ge\frac{1}{3}\)

Dấu "="  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x+2y=1\\\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}y}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(x=y=\frac{1}{3}\)

Vậy  \(Min\)\(A=\frac{1}{3}\) \(\Leftrightarrow\)\(x=y=\frac{1}{3}\)

P/s: tham khảo thôi nhé, mk ko chắc đúng (yếu phần cực trị)

\(x^2+2y^2=\left(x+2y\right)^2\) mà \(x+2y=1=>\left(x+2y\right)^2=1^2=1\)

vậy A=1

\(a,b,c\) là 3 cạnh của tam giác

Theo BĐT tam giác ta có: 

 \(\hept{\begin{cases}a< b+c\\b< c+a\\c< a+b\end{cases}}\)  \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}a^2< a\left(b+c\right)=ab+ac\left(1\right)\\b^2< b\left(c+a\right)=bc+ab\left(2\right)\\c^2< c\left(a+b\right)=ac+bc\left(3\right)\end{cases}}\)

Cộng theo vế (1), (2), (3)  ta có:

       \(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\) (đpcm)

mình cần gấp

Gọi Quãng đường AB là x(x>0,đv:km)

thời gian khi đi là \(\frac{x}{50}\)h

thời gian khi về là \(\frac{x}{45}\)h

Đổi 3h48p=3,8h

Theo bài ra ta có PT:\(\frac{x}{50}+\frac{x}{45}=3,8\)

giải ra ta đc x=90 9(tm)

Vậy QĐ AB=90km

\(\frac{5x+2}{6}-\frac{8x-1}{3}=\frac{4x+2}{5}-5\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{5\left(5x+2\right)}{30}-\frac{10\left(8x-1\right)}{30}=\frac{6\left(4x+2\right)}{30}-\frac{150}{30}\)

\(\Leftrightarrow\)\(5\left(5x+2\right)-10\left(8x-1\right)=6\left(4x+2\right)-150\)

\(\Leftrightarrow\)\(25x+10-80x+80=24x+12-150\)

\(\Leftrightarrow\)\(79x=240\)

\(\Leftrightarrow\)\(x=\frac{240}{79}\)

ủa bạn ơi, ở hàng thứ 4 là -10(8x - 1) = -80x + 10 chứ???

\(\left(4x-8\right)\left(3x-6\right)>\left(4x-8\right)\left(2x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(4x-8\right)\left(3x-6\right)-\left(4x-8\right)\left(2x+2\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(4x-8\right)\left(3x-6-2x-2\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\)\(4\left(x-2\right)\left(x-8\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x-2>0\\x-8>0\end{cases}}\)hoặc   \(\hept{\begin{cases}x-2< 0\\x-8< 0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x>2\\x>8\end{cases}}\)hoặc   \(\hept{\begin{cases}x< 2\\x< 8\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x>8\\x< 2\end{cases}}\)

Vậy...

8 < x < 2 sao được ạ? 

\(\Rightarrow4a^4-4a^3-4a+1+5a^2>=0\)

\(\Rightarrow\left(4a^4-4a^3+a^2\right)+\left(4a^2-4a+1\right)>=0\)

\(\Rightarrow\left(\left(2a^2\right)^2-2\cdot2a^2a+a^2\right)+\left(\left(2a\right)^2-2\cdot2a+1^2\right)>=0\)

\(\Rightarrow\left(2a^2-a\right)^2+\left(2a-1\right)^2>=0\)

vì \(\left(2a^2-a\right)^2>=0\)với mọi a \(\left(2a-1\right)^2>=0\)với mọi a

\(\Rightarrow\left(2a^2-a\right)^2+\left(2a-1\right)^2>=0\)với mọi a

\(\Rightarrow\)đpcm

gọi chiều dài của hcn là x(x>0)(đvd) 

thì chiều rộng \(\frac{3x}{4}\)(đvd)

do chu vi của hcn là 280 nên ta co pt:

\(x+\frac{3x}{4}=\frac{280}{2}\)

giải pt ta đc x=80(đvd)

vậy CD=80 thì CR =\(\frac{3.80}{4}=60\)(đvd)

khi đó s=80.60=4800(đvdt)