1) Áp dụng BĐT bunhia, ta có 

\(P^2\le3\left(6a+6b+6c\right)=18\Rightarrow P\le3\sqrt{2}\)

Dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/3

vì a và b là 2 stn liên tiếp suy ra a và b có dạng n và n+1

\(a^2+b^2+c^2\Rightarrow n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2=n^2+\left(n+1\right)^2\left(n^2+1\right)\)

\(=n^2+\left(n^2+2n+1\right)\left(n^2+1\right)=n^2+2n\left(n^2+1\right)+\left(n^2+1\right)^2=\left(n^2+n+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\)P là số chính phương (1)

vì a và b là 2 stn liên tiếp nên 1 số chẵn và 1 số lẻ \(\Rightarrow\)a^2+b^2 cũng vậy nên a^2+b^2 lẻ vì c=ab mà 1 trong a b là số chẵn nên c chẵn và c^2 chẵn \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\)lẻ (2)

từ (1) và (2) \(\Rightarrow P\)là số chính phương lẻ

2 SNT liên tiếp là 2 và 3 => a=2, b=3 , c=6 => P=49 là scp lẻ

\(a+1+b+2007⋮6\Rightarrow a+b+2008⋮6\)

vì 2008 chia cho 6 dư 4 nên a+b chia cho 6 phải dư 2 

vì 4 chia 6 dư 4 \(\Rightarrow4^a\div6\)dư 4 \(\Rightarrow4^a+a+b\div6\)dư 4+2=6 \(\Rightarrow4^a+a+b⋮6\)

Gọi quãng đường AB là S(km)

Thời gian dự định đi là: \(\frac{S}{30}\left(h\right)\)

Thời gian thực tế đi là: \(\frac{S}{2.30}+\frac{S}{2.36}=\frac{11S}{360}\left(h\right)\)

Theo đề bài thì ta có:

\(\frac{S}{30}-\frac{1}{6}=\frac{11S}{360}\)

\(\Leftrightarrow S=60\left(km\right)\)

Thời gian dự định đi là: \(\frac{60}{30}=2\left(h\right)\)

Quãng đường AB=60km

Quãng Đường AB=60km

Gọi quãng đường AB là S(km)

Thời gian dự định đi là: \(\frac{S}{30}\left(h\right)\)

Thời gian thực tế đi là: \(\frac{S}{2.30}+\frac{S}{2.36}=\frac{11S}{360}\left(h\right)\)

Theo đề bài thì ta có:

\(\frac{S}{30}-\frac{1}{6}=\frac{11S}{360}\)

\(\Leftrightarrow S=60\left(km\right)\)

Thời gian dự định đi là: \(\frac{60}{30}=2\left(h\right)\)

\(VT=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

\(=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1-3\)

\(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}-3\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\)

C/m BĐT phụ    \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)    (*)      với x, y, z  dương

   Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

             \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9\)

ÁP dụng  BĐT (*) ta có:

       \(VT=\frac{1}{2}\left[\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\right]\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)-3\)

    \(VT\ge\frac{1}{2}.9-3\)\(=\)\(\frac{3}{2}\)   (đpcm)

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

\(=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ba+bc}+\frac{c^2}{ca+cb}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)

C/m BĐT phụ:   \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)  (*)      (x,y dương)

Ta có:   \(\left(x-y\right)^2\ge0\)       

\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)   (BĐT đã đc chứng minh)

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)

ÁP dụng BĐT (*) ta có:

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-\left(a+b\right)}=\frac{4}{c}\)  (1)

\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{p-b+p-c}=\frac{4}{2p-\left(b+c\right)}=\frac{4}{a}\)  (2)

\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{p-c+p-a}=\frac{4}{2p-\left(c+a\right)}=\frac{4}{b}\) (3)

Lấy (1); (2); (3) cộng theo vế ta được:

          \(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)  (đpcm)

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

Khi đó  \(\Delta ABC\)là tam giác đều