(3,0 điểm)

Cho tam giác $ {ABC}$ vuông tại $ {C}( {AC}< {BC})$, đường cao $ {CK}$ và đường phân giác trong $ {BD}( {K} \in  {AB},  {D} \in  {AC})$. Qua $ {D}$ kẻ đường thẳng vuông góc với $ {AC}$ cắt $ {CK},  {AB}$ lần lượt tại $ {H}$ và $ {I}$.

a) Chứng minh $CDKI$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $ {AD} .  {AC}= {DH} .  {AB}$.

c) Gọi $ {F}$ là trung điểm $ {AD}$. Đường tròn tâm $ {I}$ bán kính $ {ID}$ cắt $ {BC}$ tại $ {M}( {M}$ khác $ {B})$ và cắt $ {AM}$ tại $ {N}( {N}$ khác $ {M})$. Chứng minh $ {B},  {N},  {F}$ thẳng hàng.

(1,5 điểm)

Trong kỳ SEA Games 31 tổ chức tại Việt Nam, thú sao la được chọn làm linh vật. Một phân xưởng được giao sản xuất $420$ thú nhồi bông sao la trong một thời gian dự định để làm quà tặng. Biết rằng nếu mỗi giờ phân xưởng sản xuất thêm $5$ thú nhồi bông sao la thì sẽ rút ngắn được thời gian hoàn thành công việc là $2$ giờ. Tính thời gian dự định của phân xưởng?

(3 điểm)

Cho nửa đường tròn $(O ; R)$ đường kính $A B$. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $A B$ chứa nửa đường tròn $(O)$, vẽ hai tiếp tuyến $A x, B y$ của nửa đường tròn. Từ điểm $M$ thuộc nửa đường tròn $(O)$ vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt $A x,\, B y$ lần lượt tại $P$ và $Q$.

a) Chứng minh bốn điểm $A, P, M, O$ cùng nằm trên một đường tròn.

b) $A M$ cắt $O P$ tại điểm $I, B M$ cắt $O Q$ tại điểm $K$. Chứng minh $M I O K$ là hình chữ nhật và tính tích $A P . B Q$ theo $R$.

c) Gọi $\mathrm{N}$ là giao điểm của $B P$ và $I K$. Chứng minh rằng khi $M$ di chuyển trên nửa đường tròn $(M$ khác $A$ và $B$ ) thì tỉ số $\dfrac{S_{\triangle A B N}}{S_{\triangle A B M}}$ luôn không đổi.

(2,5 điểm)

1) Cho hai đường thẳng $y=-x+4\,\left(d_1\right)$ và $y=(\mathrm{m}-2) x+4\,\left(d_2\right)$.

a) Chứng minh rằng không tồn tại giá trị của $\mathrm{m}$ để $\left(d_1\right)$ song song với $\left(d_2\right)$.

b) Gọi giao điểm của $\left(d_1\right)$ với $\left(d_2\right)$ là $P$, giao điểm của $\left(d_1\right)$ với trục $O x$ là $A$. Tìm $\mathrm{m}$ để $\left(d_2\right)$ cắt trục $O x$ tại $B$ sao cho $S_{\triangle P A B}=6$.

2) Một máy bay đang bay ở độ cao $10 \mathrm{~km}$, cách sân bay $100 \mathrm{~km}$ và bắt đầu hạ cánh. Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của máy bay là một đường thẳng tạo một góc nghiêng so với mặt đất. Tính góc nghiêng đó (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhât).