\(3S=3+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{2004}}\)

\(3S-S=\left(3+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{2004}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{2005}}\right)\)

\(2S=3-\frac{1}{3^{2005}}\)

\(2S=\frac{3^{2006-1}}{3^{2005}}\)

\(S=\frac{3^{2006}-1}{3^{2005}.2}\)

S = 1/3 + 1/3² + 1/3³ + ... + 1/3²⁰⁰⁵

=> 3S = 1 + 1/3 + 1/3² + ... + 1/3²⁰⁰⁴

=> 3S - S = 1 + 1/3 + 1/3² + ... + 1/3²⁰⁰⁴ - (1/3 + 1/3² + 1/3³ + ... + 1/3²⁰⁰⁵)

=> 2S = 1 + 1/3 + 1/3² + ... + 1/3²⁰⁰⁴ - 1/3 - 1/3² - 1/3³ - ... - 1/3²⁰⁰⁵

=> 2S = 1 - 1/3²⁰⁰⁵

=> S = \(\frac{\frac{1}{3^{2005}}}{2}\)

=> S = 1/3²⁰⁰⁵.2

\(S=2+2^2+...+2^{2018}\)

\(2S=2^2+2^3+...+2^{2019}\)

\(2S-S=\left(2^2+2^3+...+2^{2019}\right)-\left(2+2^2+...+2^{2018}\right)\)

\(S=2^{2019}-2\)

S = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2018

=> 2S = 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^2019

=> 2S - S = 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^2019 - 2 - 2^2 - 2^3 - ... - 2^2018

=> S = 2^2019 - 2

\(C=n^3-n^2+n-1=n^2\left(n-1\right)+\left(n-1\right)=\left(n-1\right)\left(n^2+1\right)\)

Ta có C là số nguyên tố nên C có ước là 1

TH1: n-1=1  => n=2 => C=5 (là số nguyên tố)

TH2: n²+1= 1 => n=0  => C= -1 (không là số nguyên tố)

Vậy với n=2 thì C là số nguyên tố

Có C = \(\left(n-1\right)\left(n^2+1\right)\)

Do C nguyên tố nên hoặc (n-1)=1 hoặc (n²+1)=1

TH1: n-1=1=>n=2 => C = 5 ( chọn )

TH2: n^2+1=1 => n=0 => C = -1 (loại)

Vậy n=2

M = 3x ( x + 5 ) - ( 3x +18 ) ( x -1 ) + 8

    = 3x² +15x - ( 3x² - 3x + 18x - 18 ) +8

    = 3x² +15x - 3x² +3x - 18x +18 +8

    = 26

câu kia mk k biết

x² +2x+5= ( x²+2x+1) +4= (x+1)² +4

vì  (x+1)² \(\ge\)0  với mọi x nên (x+1)²+4  >0

                                             hay x²+2x+5>0 (điều phải chứng minh)

( dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\)x+1=0 \(\Leftrightarrow\)x=-1)

Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+1\ge2b\Rightarrow a^2+2b^2+3\ge2\left(ab+b+1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+2b^2+3}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)

Tương tự ta cũng có: 

\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\)\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

Mà: \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\)\(\frac{ab}{ab^2+abc+ab}+\frac{b}{bca+ab+b}=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)