\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}>=3 \)
biết x,y,z>0 và x+y+z=xy+xz+yz=6xyz
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐK \(x\ge0,x\ge1,x\ge-1\)
=(\(\frac{2x+1}{x+\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\) ) . \(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
= ( \(\frac{2x+1-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\) ) . \(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
= \(\left(\frac{2x+1-x-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\) .\(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
= \(\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\) . \(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
=\(\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\) .\(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
=\(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\)
=\(\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{x}\)
=\(\frac{x-\sqrt{x}}{x}\)
gọi x(km/h) là vận tốc thật của ô tô đi từ A
gọi y(km/h) là vận tốc thật của ô tô đi từ B
(ĐK: x>y>10)
vì quãng đường dài 220 km và khi 2 ô tô đi ngược chiều sau 2 h thì gặp nhau nên ta có pt: \(x+y=\frac{220}{2}=110\)(1)
vì nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h thì gấp đôi vận tốc ô to đi từ B nên ta có pt: \(x+10=2.y\)(=) \(x-2.y=-10\)(2)
từ (1) và (2) ta có hệ pt: \(\hept{\begin{cases}x+y=110\\x-2.y=-10\end{cases}}\)
giải hệ pt ta được x= 70( nhận); y=40(nhận)
vậy vận tốc ô tô đi từ A là: 70 km/h; ô tô đi từ B là: 40 km/h
https://diendan.hocmai.vn/threads/toan-9-de-thi-vao-chuyen-quoc-hoc-hue.348002/ chị vào link này nhá , có câu hỏi y hệt đó
\(\hept{\begin{cases}xy+z^2=2\left(1\right)\\yz+x^2=2\left(2\right)\\zx+y^2=2\left(3\right)\end{cases}}\)Lấy 1- 2 ta có \(-y\left(z-x\right)+z^2-x^2=0\Leftrightarrow-y\left(z-x\right)+\left(z+x\right)\left(z-x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(z-x\right)\left(z+x-y\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}z=x\\y=x+z\end{cases}}\)
TH1: Nếu \(x=z\)thế vào 1 và 3 có \(\hept{\begin{cases}xy+x^2=2\\x^2+y^2=2\end{cases}}\)\(\Rightarrow y^2-xy=0\Leftrightarrow\left(y-x\right)y=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\\x=y\end{cases}}\)
TH2 :Nếu \(y=x+z\)thế vào 1 và 3 có :\(\hept{\begin{cases}\left(x+z\right)x+z^2=2\\xz+\left(z+x\right)^2=2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+xz+z^2=2\\x^2+3xz+z^2=2\end{cases}}}\)trừ hai vế của phương trình \(2xz=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}z=0\\x=0\end{cases}}\)
Kết luân : nghiệm của hệ là \(\orbr{\begin{cases}\left(x,y,z\right)=\left(\sqrt{2},0,\sqrt{2}\right)\\\left(x,y,z\right)=\left(-\sqrt{2},0,-\sqrt{2}\right)\end{cases}}\)hoặc \(\orbr{\begin{cases}\left(x,y,z\right)=\left(0,\sqrt{2},\sqrt{2}\right)\\\left(x,y,z\right)=\left(0,-\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)\end{cases}}\)hoặc \(\orbr{\begin{cases}\left(x,y,z\right)=\left(\sqrt{2},\sqrt{2},0\right)\\\left(x,y,z\right)=\left(-\sqrt{2},-\sqrt{2},0\right)\end{cases}}\)hoặc \(\orbr{\begin{cases}\left(x,y,z\right)=\left(1,1,1\right)\\\left(x,y,z\right)=\left(-1,-1,-1\right)\end{cases}}\)
\(\left(x^2+y\right)\left(x+y^2\right)=\left(x-y\right)^3\)
\(\Leftrightarrow y\left[2y^2+\left(x^2-3x\right)y+3x^2+x\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\\2y^2+\left(x^2-3x\right)y+3x^2+x=0\end{cases}}\)
Với \(y=0\)thì x nguyên tùy ý.
Với \(2y^2+\left(x^2-3x\right)y+3x^2+x=0\)
Ta có: \(\Delta=\left(x^2-3x\right)^2-4.2.\left(3x^2+x\right)=\left(x-8\right)x\left(x+1\right)^2\)
Với \(x=-1\) thì \(\Rightarrow y=-1\)
Với \(x\ne-1\) để y nguyên thì \(\Delta\) phải là số chính phương hay
\(\left(x-8\right)x=k^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-8x+16\right)-k^2=16\)
\(\Leftrightarrow\left(x-4+k\right)\left(x-4-k\right)=16\)
Tới đây thì đơn giản rồi b làm tiếp nhé.
Đơn giản là Cauchy-Schwarz
\(S^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\)
\(\le\left(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right)\left(1+1+1\right)\)
\(=3\cdot\left(2a+2b+2c\right)=6\left(a+b+c\right)=1\)
\(\Rightarrow S^2\le6\Rightarrow S\le\sqrt{6}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
ta dự đoán điểm khi : \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}=\sqrt{b+c}=\sqrt{a+c}=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
Khi đó ta có :
\(\sqrt{\frac{2}{3}}.\sqrt{a+b}\le\frac{\frac{2}{3}+a+b}{2}\)
\(\sqrt{\frac{2}{3}}.\sqrt{b+c}\le\frac{\frac{2}{3}+b+c}{2}\)
\(\sqrt{\frac{2}{3}}.\sqrt{c+a}\le\frac{\frac{2}{3}+a+c}{2}\)
cộng từng vế 3 bất phương trình ta có
\(\sqrt{\frac{2}{3}}.S\le\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}+2\left(a+b+c\right)\right)=2\) \(\Leftrightarrow S\le2.\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{6}\)
Vậy \(S_{max}=\sqrt{6}\)dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Câu hỏi của Minh Hà Tuấn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath