Cho x,y thỏa mãn 0<x<1 , 0<y<1. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(M=x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\)

Gpt \(\left(4x+1\right)\sqrt{x^2+1}=2\left(x^2+1\right)+2x-1\)

Tìm a để đường thẳng y = ax + 3 đi qua điểm A(1,2,5)

Chứng minh:

 \(a^n+b^n+c^n\ge\left(\frac{a+2b}{3}\right)^n+\left(\frac{b+2c}{3}\right)^n+\left(\frac{c+2a}{3}\right)^n,\forall a,b,c>0;n\in N\)

Cho hình thoi ABCD cạnh a, gọi R và r lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác abd và abc 

a) chứng minh \(\frac{1}{R^2}+\frac{1}{r^2}=\frac{4}{a^2}\) 

b) chứng minh \(SABCD=\frac{8R^3r^3}{\left(R^2+r^2\right)^2}\)

Tính các cạnh của một tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 3cm, tiếp điểm trên cạnh AB chia cạnh ấy thành 2 đoạn thẳng AF = 3cm, FB = 4cm

tìm các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(\sqrt{a-b+c}=\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}\) và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

Cho tam giác ABC có góc A=90 độ, AB<AC. Kẻ đường cao AH, kẻ HE vuông góc với AB, HF vuông góc AC (E thuộc AB, F thuộc AC)

a) C/m: Góc AEF = góc ACB

b) Gọi S là giao điểm của EF với BC. C/m: SE.SF=SB.SC

c) Gọi M là trung diểm của BC, qua A kẻ đường // với EF cắt BC tại P. C/m: HP.HM=HB.HC và PA² =PB.PC

Rút gọn biểu thức

A=Căn ((2 căn 10 + căn 30 - 2 căn 2 - căn 6)/(2 căn 10 - 2 căn 2)) ÷ 2/ ( căn 3 -1)

Cho a, b thuộc R⁺ thỏa mãn a² + b² = 2a + b. Tìm GTLN: P = a - b + ab