\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge1+\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-1-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-a-b-c-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b}-2a+b+\frac{b^2}{c}-2b+c+\frac{c^2}{a}-2c+a-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{\left(a-b\right)^2}{b}-\left(a-b\right)^2+\frac{\left(b-c\right)^2}{c}-\left(b-c\right)^2+\frac{\left(c-a\right)^2}{a}-\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{\left(1-b\right)\left(a-b\right)^2}{b}+\frac{\left(1-c\right)\left(b-c\right)^2}{c}+\frac{\left(1-a\right)\left(c-a\right)^2}{a}\ge0\)(*)

Vậy ta phải chứng minh rằng \(\hept{\begin{cases}1-b\ge0\\1-c\ge0\\1-a\ge0\end{cases}}\)

Thật vậy, vì a,b,c>0 và a+b+c=1 nên ta có\(\hept{\begin{cases}b\le1\\c\le1\\a\le1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}1-b\ge0\\1-c\ge0\\1-a\ge0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)(*) luôn đúng với a,b,c>0 và a+b+c=1.

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Vậy...

TL

ĐK: -4x + 5 ≥ 0 <=> x ≤ 5/4

Khi nào rảnh vào kênh H-EDITOR xem vid nha!!! Thanks!

cô chào các con

Xét hệ 

m x + y = 3 4 x + m y = 6 ⇔ y = 3 − m x 4 x + m 3 − m x = 6 ⇔ y = 3 − m x 4 x + 3 m − m 2 x = 6 ⇔ y = 3 − m x 4 − m 2 x = 6 − 3 m ⇔ y = 3 − m x                                 1 m 2 − 4 x = 3 m − 2       2

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ⇔ (2) có nghiệm duy nhất

m 2 – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ± 2 ( * )

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất

⇔ x = 3 m + 2 y = 3 − 3 m m + 2 ⇔ x = 3 m + 2 y = 6 m + 2

Ta có

x > 0 y > 2 ⇔ 3 m + 2 > 0 6 m + 2 > 1 ⇔ m + 2 > 0 4 − m m + 2 > 0 ⇔ m > − 2 4 − m > 0 ⇔ m > − 2 m < 4 ⇔ − 2 < m < 4

Kết hợp với (*) ta được giá trị m cần tìm là – 2 < m < 4; m ≠ 2