\(=\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{3-2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}\)

\(=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}\)

\(=2\sqrt{3}+3\)

M A C D B O K N E F H I

a/ 

Ta có A và B cùng nhìn MO dưới 1 góc vuông => B và B thuộc đường tròn đường kính MO => A, B, M, O cùng nằm trên 1 đường tròn

b/

Ta có

\(C_{MCD}=MC+MD+CD=\left(MC+NC\right)+\left(MD+ND\right).\) 

Ta có

MA = MB (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)

NC=AC; ND = BD (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)

\(\Rightarrow C_{MCD}=\left(MC+AC\right)+\left(MD+BD\right)=MA+MB=2MA\)

M cố định; A cố định => MA không đổi \(\Rightarrow C_{MCD}=2MA\) không đổi => \(C_{MCD}\) không phụ thuộc vị trí điểm N

c/

Xét tg vuông NOC và tg vuông AOC có

OC chung

NC = AC (cmt)

\(\Rightarrow\Delta NOC=\Delta AOC\) (hai tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông bằng nhau) \(\Rightarrow\widehat{OCA}=\widehat{OCD}\) (1)

Gọi P là giao OC với (O) và Q là giao của OD với (O)

Ta có

sđ cung AP = sđ cung NP; sđ cung BQ = sđ cung NQ (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn chia đôi cung giới hạn bởi hai tiếp điểm)

=> sđ cung NP = 1/2 sđ cung AN; sđ cung NQ = 1/2 sđ cung BN

=> sđ cung NP + sđ cung NQ = sđ cung PQ = 1/2 sđ cung AN + 1/2 sđ cung BN = 1/2 sđ cung AB

\(\Rightarrow\widehat{COD}=sđ\) cung PQ = 1/2 sđ cung AB (góc ở tâm)

Ta có \(\widehat{CAB}=\)1/2 sđ cung AB (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(\Rightarrow\widehat{CAB}=\widehat{COD}\) (2)

Xét tg CKA và tg ODC có

\(\widehat{OCA}=\widehat{OCD;}\widehat{CAB}=\widehat{COD}\) => tg CKA đồng dạng với tg ODC (g.g.g)

d/

Gọi I là giao của EF với MA

Xét tg OAB và tg OEF có

OA = OE; OB = OF (đều là bán kính (O))

\(\widehat{AOB}=\widehat{EOF}\) (góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta OAB=\Delta OEF\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{BAO}=\widehat{IEO}\) => AB // EF (hai đường thẳng bị cắt bởi 1 đường thẳng tạo thành 2 góc so le trong = nhau thì // với nhau)

Ta có \(MO\perp AB\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc với dây cung nối 2 tiếp điểm)

\(\Rightarrow MO\perp EF\) (đường thẳng vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng // với nhau thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại)

Xét \(\Delta MIE\) có

\(EA\perp MI;MO\perp EF\) => O là trực tâm của tg MIE => OH là đường cao thuộc cạnh ME => OH phải đi qua I => EF; MA; OH đồng quy tại I

Làm theo bạn Hoàng Nhật mình không nói là sai, nhưng chưa chọn đúng điểm rơi. Nếu như theo bạn ấy thì dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a^2=\frac{1}{a^2};b^2=\frac{1}{b^2};c^2=\frac{1}{c^2}\), đồng nghĩa với việc \(a=b=c=1\Rightarrow a+b+c=3\), nhưng đề bài cho điều kiện \(a+b+c\le1\)nên trong trường hợp này nếu làm theo bạn Hoàng Nhật thì dấu "=" không xảy ra được, dẫn đến không tìm được GTNN của biểu thức.

[[[[[[[ Mình thì dự đoán điểm rơi là \(a=b=c=\frac{1}{3}\Rightarrow a^2=b^2=c^2=\frac{1}{9}\)

Tức là \(a^2,b^2,c^2\le\frac{1}{9}\)

Để tách ghép được thành các hạng tử nghịch đảo và áp dụng Cô-si, ta cần ghép \(a^2+k.\frac{1}{a^2}\)

Khi áp dụng Cô-si xong, dấu "=" sẽ xảy ra khi \(a^2=k.\frac{1}{a^2}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{3}\right)^2=k.\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2}\Leftrightarrow\frac{1}{9}=9k\Leftrightarrow k=\frac{1}{81}\)]]]]]]]

Đặt \(A=a^2+b^2+c^2+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2}\)\(=a^2+\frac{1}{81a^2}+b^2+\frac{1}{81b^2}+c^2+\frac{1}{81c^2}+\frac{80}{81a^2}+\frac{80}{81b^2}+\frac{80}{81c^2}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \(a^2\)và \(\frac{1}{81a^2}\), ta có: \(a^2+\frac{1}{81a^2}\ge2\sqrt{a^2.\frac{1}{81a^2}}=2.\frac{1}{9}=\frac{2}{9}\)

Tương tự, ta có: \(b^2+\frac{1}{81b^2}\ge\frac{2}{9};c^2+\frac{1}{81c^2}\ge\frac{2}{9}\)

Mặt khác \(a^2\le\frac{1}{9}\Leftrightarrow\frac{80}{81a^2}\ge\frac{80}{81.\left(\frac{1}{9}\right)}=\frac{80}{9}\)

Tương tự, ta có \(\frac{80}{81b^2}\ge\frac{80}{9};\frac{80}{81c^2}\ge\frac{80}{9}\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{2}{9}+\frac{2}{9}+\frac{2}{9}+\frac{80}{9}+\frac{80}{9}+\frac{80}{9}=\frac{2}{3}+\frac{80}{3}=\frac{82}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Vậy GTNN của \(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2}\)là \(\frac{82}{3}\)khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Chỗ tớ đánh dấu [[[[[[[ ]]]]]]] là chỗ phân tích, bạn không được ghi vào bài làm nhé.

-2-2 căn 10 nha bn

\(\frac{5\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}+\frac{6}{2-\sqrt{10}}-\frac{20}{\sqrt{10}}\)

\(=\frac{\sqrt{10}\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}+\frac{6\left(2+\sqrt{10}\right)}{\left(2-\sqrt{10}\right)\left(2+\sqrt{10}\right)}-\frac{20\sqrt{10}}{10}\)

\(=\sqrt{10}+\frac{6\left(2+\sqrt{10}\right)}{2^2-\left(\sqrt{10}\right)^2}-2\sqrt{10}\)

\(=-\sqrt{10}+\frac{6\left(2+\sqrt{10}\right)}{4-10}\)

\(=-\sqrt{10}-\frac{6\left(2+\sqrt{10}\right)}{6}\)

\(=-\sqrt{10}-2-\sqrt{10}\)

\(=-2-2\sqrt{10}\)

Xét điểm thứ nhất (A)(A) nối với 5 điểm còn lại (B,C,D,E,FB,C,D,E,F) tạo thành 5 đoạn thẳng

Vì mỗi đoạn thẳng được tô chỉ màu đỏ hoặc xanh, nên theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất ba trong năm đoạn nói trên cùng màu. Giả sử 3 đoạn cùng màu là đoạn AB,AC,AD có 2 trường hợp:

Đoạn AB,AC,ADAB,AC,AD màu xanh tạo thành ΔABC,ABD,BCD,ABDΔABC,ABD,BCD,ABD có đỉnh thuộc cạnh màu xanh

Nếu ngược lại 3 đoạn màu đỏ thì tạo thành ΔABC,ABD,BCD,ABDΔABC,ABD,BCD,ABD có đỉnh thuộc cạnh màu đỏ.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Xét điểm thứ nhất (A)(A) nối với 5 điểm còn lại (B,C,D,E,FB,C,D,E,F) tạo thành 5 đoạn thẳng

Vì mỗi đoạn thẳng được tô chỉ màu đỏ hoặc xanh, nên theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất ba trong năm đoạn nói trên cùng màu. Giả sử 3 đoạn cùng màu là đoạn AB,AC,AD có 2 trường hợp:

Đoạn AB,AC,ADAB,AC,AD màu xanh tạo thành ΔABC,ABD,BCD,ABDΔABC,ABD,BCD,ABD có đỉnh thuộc cạnh màu xanh

Nếu ngược lại 3 đoạn màu đỏ thì tạo thành ΔABC,ABD,BCD,ABDΔABC,ABD,BCD,ABD có đỉnh thuộc cạnh màu đỏ.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

a, Để hàm số trên nghịch biến khi \(4-2a< 0\Leftrightarrow a>2\)

b, y = ( 4 - 2a ) x + b // y = 2x + 1 <=> \(\hept{\begin{cases}4-2a=2\\b\ne1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2=2a\\b\ne1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b\ne1\end{cases}}\)

=> \(y=2x+b\)(d) 

(d) đi qua B(-1;2) hay B(-1;2) thuộc (d) 

<=> \(-2+b=2\Leftrightarrow b=4\)( tmđk ) 

Vậy (d) : y = 2x + 4 

c, Cho x = 0 => y = 4 

=> d cắt trục Oy tại A(0;4) => OA = |4| = 4 

Cho y = 0 => x = -2 

=> d cắt truc Ox tại B(-2;0) => OB = | -2| = 2 

bạn tự vẽ nhé 

\(S_{AOB}=\frac{1}{2}.OA.OB=\frac{1}{2}.4.2=4\)( đvdt ) 

à_à  hình như đề này có vấn đề sao á bạn, đáng lẽ đề phải là ( để hs đồng biến hay ko nghịch biến trên R chứ;)

a, để hs trên nghịch biến khi a > 2 

b, y = (4-2a)x+b // y=2x+1 => a = 1 ( ktmđk ) ; b\(\ne1\)

a8 b9 c1,1

Ta có : 4= căn 16 
  Vì 16>15 <=> căn 16 > căn 15 
                   Hay 4 > căn 15 
    Vậy 4> căn 15