\(a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3 \Rightarrow a^2(1-a)+b^2(1-b)+c^2(1-c)=0(1)\)

Mà \(a^2+b^2+c^2=1\) nên \(a\leq1\),\(b\leq1\),\(c\leq1\)( do \(a^2 \geq 0\))=>\(1-c\leq0\)

hay \(a^2(1-a) \leq 0\), \(b^2(1-b) \leq 0\), \(c^2(1-c) \leq 0\)

\(\Rightarrow a^2(1-a)+b^2(1-b)+c^2(1-c) \leq 0(2)\)

Từ (1)(2) suy ra (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 trong 3 số bằng 1 và 2 số còn lại bằng 0.

Nên P=1.

1-c\(\ge0\)mà bn

\(x^4+2x^3y-2x^3+x^2y^2-2x^2y-x(x+y)+2x+3\)

\(=(x^4+x^3y-2x^3)+(x^3y+x^2y^2-2x^2y)-(x^2+xy-2x)+3\)

\(=(x+y-2)(x^3+x^2y-x)+3=3\)

Do \(x+y-2=0\Rightarrow (x+y-2)(x^3+x^2y-x)=0\)

\(x^4+2x^3y-2x^3+x^2y^2-2x^2y-x\left(x+y\right)+2x+3\)

\(=\left(x^4+x^3y-2x^3\right)+\left(x^3y+x^2y^2-2x^2y\right)-\left(x^2+xy-2x\right)+3\)

\(=\left(x+y-2\right)\left(x^3+x^2y-x\right)+3=3\)

Do \(x+y-2=0\Rightarrow\left(x+y-2\right)\left(x^3+x^2y-x\right)=0\)

k nhé 

\(A=x^4+2x^3+5x^2+4x+4\)

\(=\left(x^2\right)^2+2.x^2.x+x^2+4\left(x^2+x\right)+4\)

\(=\left(x^2+x\right)^2+2.\left(x^2+x\right).2+2^2\)

\(=\left(x^2+x+2\right)^2\)

\(=\left(y+1\right)^2\)

Chúc bạn học tốt.

Lấy A' đối xứng với A qua Ox, B' đối xứng với B qua Oy

Nối A'B' cắt Ox và Oy lần lượt tại M' và N'

Vì A' đối xứng với A qua Ox nên Ox là đường trung trực của AA', do đó MA = MA'

Tương tự NB = NB'

Ta có: AM + MN + BN = A'M + MN + B'N = A'MNB'

Ta thấy đường gấp khúc \(A'MNB'\ge A'B'\)(vì A và B nằm ở miền trong của \(\widehat{xOy}\)) Dấu bằng xảy ra khi M trùng M' và N trùng N'

Vậy Min (AM + MN + BN) = A'B' khi M trùng M' và N trùng N' là giao điểm của A'B' với các tia Ox và Oy

\(x^2-\left(y-3\right)x-2y-1=0\)

\(\Leftrightarrow y\left(x+2\right)=x^2+3x-1\)

Dễ thây \(x\ne-2\)

\(\Rightarrow y=\frac{x^2+3x-1}{x+2}=x+1-\frac{3}{x+2}\)

Để y nguyên thì x + 2 là ươc của 3 hay

\(\left(x+2\right)=\left\{-3;-1;1;3\right\}\)

\(x^2-\left(y-3\right)x-2y-1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-xy+3x-2y-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-xy\right)+\left(2x-2y\right)+x-1=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-y\right)+2\left(x-y\right)+\left(x+2\right)-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x-y\right)+\left(x+2\right)=3\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x-y+1\right)=3\)

Ta có x, y \(\in\) Z nên x + 2 là ước của 3 \(\Rightarrow x+2\in\left\{1;3;-1;-3\right\}\). Ta có bảng sau:

a)  Gọi M và N lần lượt là giao điểm của AE, BF với CD.

Ta có: A D E ^ = 1 2 D ^  ngoài, D A E ^ = 1 2 A ^  ngoài.

Mà A ^  ngoài + D ^  ngoài = 1800 (do AB//CD)

⇒   A D E ^ + D A E ^ = 90 0 , tức là tam giác ADE vuông tại E.

Khi đó, tam giác ADM cân tại D (do có DE vừa là đường phân giác, vừa là đường cao) và E là trung điểm của AM.

Chứng minh tương tự, ta được F olaf trung điểm của BN.

Từ khó, suy ra EF là đường trung bình của hình thang ABNM và ta được ĐPCM

b) Từ ý a),  EF = 1 2 ( A B + B C + C D + D A )

Qua C dựng đường thẳng song song với BD cắt đường thẳng AB tại điểm N.

Xét tứ giác DCNB có: CN // BD; BN // CD => Tứ giác DCNB là hình bình hành

=> DC = BN => (DC + AB)/2 = (BN + AB)/2 = AN/2 (1)

Ta có: M thuộc [AN]; AM = (DC + AB)/2                    (2)

(1); (2) => AM = AN/2 => M là trung điểm của AN  = >CM là trung tuyến \(\Delta\)ACN

Lại có: AC vuông góc BD; BD // CN => AC vuông góc CN (Qh //; vuông góc)

Xét \(\Delta\)ACN vuông đỉnh C có trung tuyến CM (cmt) => CM = AM => \(\Delta\)CAM cân tại M

=> ^MAC = ^MCA. Mà ^MAC = ^DCA (Do AB//CD) nên ^MCA = ^DCA 

Vậy nên  CA là phân giác ^MCD (đpcm).