Áp dụng bất đẳng thức bu nhi a ta có \(\left(x^2+y^2+z^2\right)3\ge\left(x+y+z\right)^2\)

Áp dụng ta có 

\(Q^2\le3\left(\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{c}{1+c+ca}\right)\)

đặt \(M=\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{c}{1+c+ca}=\frac{a}{1+a+ab}+\frac{ab}{a+ab+abc}+\frac{abc}{ab+abc+â^2bc}\)

    \(=\frac{1}{a+ab+1}+\frac{a}{a+ab+1}+\frac{ab}{1+ab+1}=1\)

=> \(Q^2\le3\Rightarrow Q\le\sqrt{3}\)

mặt khác Áp dụng cô si ta có 

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\Rightarrow\sqrt{a+b+c}\ge\sqrt{3}\Rightarrow\sqrt{a+b+c}\ge Q\) (ĐPCM)

ta có:

\(\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{c}{1+c+ca}=\frac{a}{abc+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{bc}{b+bc+abc}\)

\(=\frac{1}{1+b+bc}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{bc}{1+b+bc}=1\)

ta có:

\(Q^2\le3\left(\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{c}{1+c+ca}\right)=3\)

\(\Rightarrow Q\le\sqrt{3}=\sqrt{3\sqrt[3]{abc}}\le\sqrt{a+b+c}\left(Q.E.D\right)\)

dấu = xảy ra khi a=b=c=1

ta có \(\left(a-3\right);\left(b+2017\right)⋮6\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-3\right);\left(b+2017\right)⋮2\\\left(a-3\right)\left(b+2017\right)⋮3\end{cases}}\)

xét cả 2 cái chia hết cho 2 trước thì ta có a và b cùng lẻ

xét 2 cái chia hết ho 3 thì ta có 

a chia hết cho 3 và và b chi 3 dư 2

ở đây ta dùng mod thì cậu có 

\(4\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow4^a\equiv1\left(mod3\right)\)

mà \(a\equiv0\left(mod3\right)\)

      \(b\equiv2\left(mod3\right)\)

=> \(4^a+a+b\equiv0\left(mod3\right)\) => \(4^a+a+b⋮3\) (1) 

mặt khác ta có a,b lẻ => a+b chia hết cho 2 

mà \(4^a⋮2\)

=> \(4^a+a+b⋮2\) (2) 

từ (1) và (2) 

=> \(4^a+a+b⋮6\) (ĐPCM)

\(C=\sqrt{10+2\sqrt{21}}+\sqrt{10-2\sqrt{21}}\)

the nay dung hon

đề của bạn sai , mình sửa thành :C = \(\sqrt{5+\sqrt{21}}+\sqrt{5-\sqrt{21}}\)                                                                                  Bài làm :\(\sqrt{2}C=\sqrt{2}.\sqrt{5-\sqrt{21}}+\sqrt{2}.\sqrt{5+\sqrt{21}}\)                                                                                                                      \(=\sqrt{2.\left(5-\sqrt{21}\right)}+\sqrt{2.\left(5+\sqrt{21}\right)}\)                                                                                                                        \(=\sqrt{10-2.\sqrt{3}\sqrt{7}}+\sqrt{10-2.\sqrt{3}\sqrt{7}}\)                                                                                                                \(=\)  \(\sqrt{7-2.\sqrt{7}.\sqrt{3}+3}+\sqrt{7+2.\sqrt{7}.\sqrt{3}+3}\)                                                                                        \(=\sqrt{\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)^2}\)  \(=\sqrt{7}-\sqrt{3}+\sqrt{7}+\sqrt{3}\)                                                                    \(=\)   \(2\sqrt{7}\)                   VẬY \(C=\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{2}}\)

Từ \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=a^3+b^3-\left(a+b\right)^3=a^3+b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3=0\)

\(\Leftrightarrow-3a^2b-3ab^2=0\Leftrightarrow-3ab\left(a+b\right)=0\Rightarrow a+b=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-b\\c=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}=a^{2017}-a^{2017}+0^{2017}=0\)

Xét tiếp 2 TH \(a+c=-b;b+c=-a\) ta cũng có đc \(a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}=0\)