a) Xét tứ giác DMEA có 3 góc vuông nên DMEA là hình chữ nhật.

Theo tính chất hình chữ nhật thì AM = DE.

b) Do DMEA là hình chữ nhật nên DE giao AM tại trung điểm mỗi đường. Do đó, I cũng là trung điểm AM.

Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AB và AC.

Xét tam giác BAM có K, I lần lượt là trung điểm của AB và AM nên KI là đường trung bình.

Vậy IK// BC. Tương tự IH//BC.

Lại có KE//BC nên I thuộc KH.

Do KH cố định nên ta có: Khi M di chuyển trên đoạn BC thì I di chuyển trên đoạn KH.

c) Ta đã có DE = AM nên DE ngắn nhất khi và chỉ khi AM có độ dài ngắn nhất.

Lại có AM là đường xiên nên luôn luôn lớn hơn hoặc bằng đường cao AH.

Vậy thì AM có độ dài ngắn nhất khi AM trung với AH tức là M trùng H.

Tóm lại DE có độ dài ngắn nhất khi M là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC.

a) Xét tứ giác AEDF có DE song song và bằng AF nên AEDF là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết).

Vậy thì AE = FD (tính chất hình bình hành)

b) Do AEDF là hình bình hành nên hai đường chéo AD và EF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Theo đề bài thì I là trung điểm AD nên I cũng là trung điểm EF.

Vậy E đối xứng với F qua I.

a) \(x^2-4x=0\)

\(x\left(x-4\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x-4=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=4\end{cases}}}\)

b) \(4x^2-9=0\)

\(\left(2x\right)^2-3^2=0\)

\(\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2x+3=0\\2x-3=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-3}{2}\\x=\frac{3}{2}\end{cases}}}\)

c) \(2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)=0\)

\(\left(x-3\right)\left(2x+5\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-3=0\\2x+5=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=\frac{-5}{2}\end{cases}}}\)

d) \(x\left(2x+9\right)-4x-18=0\)

\(x\left(2x+9\right)-2\left(2x+9\right)=0\)

\(\left(2x+9\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2x+9=0\\x-2=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-9}{2}\\x=2\end{cases}}}\)

e) \(\left(2x-1\right)^2-\left(x+2\right)^2=0\)

\(\left(2x-1-x-2\right)\left(2x-1+x+2\right)=0\)

\(\left(x-3\right)\left(3x+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-3=0\\3x+1=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=\frac{-1}{3}\end{cases}}}\)

\(x^2-4x=0\)

\(x.\left(x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x-4=0\Leftrightarrow x=4\end{cases}}\)

\(4x^2-9=0\)

\(2^2x^2-9=0\)

\(\left(2x\right)^2-9=0\)

\(\left(2x\right)^2-3^2=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\left(2x\right)^2=\left(-3\right)^2\\\left(2x\right)^2=3^2\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2x=-3\\2x=3\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-3}{2}\\x=\frac{3}{2}\end{cases}}}}\)

\(2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)=0\)

\(\left(x-3\right)\cdot\left(2x+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x-3\right)=0\\2x+5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0+3\\2x=-5\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=\frac{-5}{2}\end{cases}}}\)

\(x\left(2x+9\right)-4x-18=0\)

\(x\left(2x+9\right)-\left(4x+18\right)=0\)

\(x\left(2x+9\right)-\left(2\cdot2x+2\cdot9\right)=0\)

\(x\left(2x+9\right)-2.\left(2x+9\right)=0\)

\(\left(2x+9\right)\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x+9=0\\x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x=-9\\x=0+2\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-9}{2}\\x=2\end{cases}}}\)

\(\left(2x-1\right)^2-\left(x+2\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left(2x-1\right)^2=\left(x+2\right)^2\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2x-1=x+2\\2x-1=-x+2\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2x=3+x\\2x=-x+3\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2x-x=3\\2x+x=3\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=1\end{cases}}}}}\)

\(\)

\(A=x^3+3xy^2-9+y\left(3x^2+y^2\right)\)

\(=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3-9\)

\(=\left(x+y\right)^3-9\)

\(=\left(1,95+0,05\right)^3-9=2^3-9=-1\)

\(B=x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}\)

\(=x^2+2.x.\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{4}\right)^2\)

\(=\left(x+\frac{1}{4}\right)^2\)

\(=\left(9,75+0,25\right)^2=10^2=100\)