\(\text {Đặt } a = x-1, b = 3-x.\\ \text {Ta có: } a + b = 2.\\ A = a^4 + b^4 + 6a^2b^2 = (a^2+b^2)^2 + (2ab)^2\\ \ge\frac{1}{2} (a^2+b^2+2ab)^2 = \frac{1}{2}(a+b)^4 = 8\)

\(\text {Theo bất đẳng thức } 2(a^2+b^2) \ge (a+b)^2\)

\(\text {Đẳng thức xảy ra khi } a = b \Leftrightarrow x = 2.\)

Cách khác:

Nếu "dự đoán" được đẳng thức xảy ra khi a = b, hay x = 2 mà chưa chứng minh được như trên, có thể làm như sau:

+ Tính A tại x = 2 (A = 8)

+ Phân tích (A - 8) thành nhân tử của (x-2)

Cụ thể

\(A - 8 = 8(x^4-8x^3+24x^2-32x+16)\\ = (x-2)^4 \ge 0\\ \Rightarrow A \ge 8\)

sai đề

khong phai sai de dau ban gi oi

A B C D H K M E F I S O

a) CMR: Tứ giác DEIF là hình thoi:

Xét \(\Delta\)ADM: ^ADM=90⁰, I là trung điểm AM => DI=AI=IM (1)

Xét \(\Delta\)AEM: ^AEM=90⁰, I là trung điểm AM => EI=AI=IM (2)

Từ (1) và (2) => DI=EI (*)

Ta có: DI=AI (cmt) => \(\Delta\)AID cân tại I => ^IAD=^IDA hay ^IAD+^IDA=2.^IAD (3)

Tường tự: ^IAE=^IEA => ^IAE+^IEA=2.^IAE (4)

Nhận thấy: ^DIM là góc ngoài \(\Delta\)AID => ^DIM=^IAD+^IDA, thay (3) vào ta đc:

^DIM=2.^IAD (5)

^EIM là góc ngoài \(\Delta\)AIE = >^EIM=^IAE+^IEA, thay (4) vào ta đc:

^EIM=2.^IAE (6)

Từ (5) và (6) => ^DIM+^EIM=2.^IAD+2.^IAE => ^DIE=2.(^IAD+^IAE)=2.^DAE.

Mà ^DAE=^BAC/2=60⁰/2=30⁰ => ^DIE=2.30⁰=60⁰ (**)

Từ (*) và (**) => \(\Delta\)DIE là tam giác đều.

Chứng minh tương tự ta cũng có \(\Delta\)DIF đều => Tứ giác DEIF là hình thoi (đpcm).

b) Đề sai, mình không thấy M,H,K thẳng hàng

Sửa: CMR MH,DI.EF đồng quy.

Gọi S là trung điểm của AH. O là giao điểm của DI và EF (3*)

Xét \(\Delta\)AMH: I là trung điểm AM, S là trung điểm AH

=> IS là đường trung bình \(\Delta\)AMH => IS//MH (7)

Do tứ giác DEIF là hình thoi (cmt) => DI và EF cắt nhau tại trg điểm mỗi đường

=> O là trung điểm của DI và EF.

Xét \(\Delta\)SID: O là trung điểm DI, H là trung điểm SD (H là trực tâm và cũng là trọng tâm \(\Delta\)ABC)

=> OH là đường trung bình \(\Delta\)SID => OH//IS (8)

Từ (7) và (8) => M,O,H thẳng hàng (4*)

Từ (3*) và (4*) => DI,EF,MH đồng quy (đpcm).

Mình ghi nhầm, ID cắt EF tại k

\(\frac{1}{6a+1}+...+\frac{1}{6a+1}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\ge\frac{9^2}{21\left(2a+1\right)}\) 

(9 p/s 1/6a+1)

7 p/s 1/6a+1

cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) M là trung điểm BC qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC , AB lần lượt tại H và N  . Biết CH = a BN = b tính diện tích tam giác ABC

Có phải đề thế này không\(A=\frac{a^4-4a^3+a^2+6a+4}{a^2-2a+12}\)tại \(a=\sqrt{5}+1\)