Cho ba số a,b,c thỏa mãn a lớn hơn bằng 1, b lớn hơn bằng 4 , c lớn hơn bằng 9 .tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=(bc√(a-1)+ca√(b-4)+ab√(c-9))/abc
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(=\sqrt{3}\left(\sqrt{3}sina+cosa\right)\)
\(=\sqrt{3}\cdot2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}sina+\frac{1}{2}cosa\right)\)
\(=2\sqrt{3}\left(cos30sina+sin30cosa\right)\)
\(=2\sqrt{3}sin\left(a+30\right)\)
Ta có \(-1\le sin\left(a+30\right)\le1\)
\(-2\sqrt{3}\le2\sqrt{3}sin\left(a+30\right)\le2\sqrt{3}\)
P đạt GTLN
\(\Leftrightarrow2\sqrt{3}sin\left(a+30\right)=2\sqrt{3}\)
\(sin\left(a+30\right)=1\)
\(a+30=90+k360\) ( vì a góc nhọn nên bỏ k 360 độ đi )
\(a+30=90\)
\(a=60\)
Vậy P dạt GTLN là \(2\sqrt{3}\) \(\Leftrightarrow a=60\)
Đặt \(\sqrt{x+1}=a\) \(ĐKXĐ:x\ge0\)
\(\sqrt{3x}=b\)
Ta có: \(a-b=b^2-a^2\)
\(\Leftrightarrow a-b+a^2-b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)+\left(a+b\right)\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b+1\right)=0\)
Mà \(a+b+1>0\forall x\)
\(\Rightarrow a-b=0\)
\(\Leftrightarrow a=b\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}=\sqrt{3x}\)
\(\Leftrightarrow x+1=3x\)
\(\Leftrightarrow2x-1=0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S=\left\{\frac{1}{2}\right\}\)
\(ĐKXĐ:x\ge0\)
Ta có PT \(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}-\sqrt{3x}-\left(2x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+1}-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)-\left(\sqrt{3x}-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)-\left(2x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+1-\frac{6}{4}}{\sqrt{x+1}+\frac{\sqrt{6}}{2}}-\frac{3x-\frac{6}{4}}{\sqrt{3x}+\frac{\sqrt{6}}{2}}-\left(2x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt{x+1}+\frac{\sqrt{6}}{2}}-\frac{3\left(x-\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{3x}+\frac{\sqrt{6}}{2}}-2\left(x-\frac{1}{2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}+\frac{\sqrt{6}}{2}}-\frac{3}{\sqrt{3x}+\frac{\sqrt{6}}{2}}-2\right)=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)(TMĐKXĐ)
Điều kiện: \(x;y;z>0\)
Ta có: \(A=x+y+z+\frac{3}{x}+\frac{9}{2y}+\frac{4}{z}\)
\(=\frac{x}{4}+\frac{3x}{4}+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{4}+\frac{3z}{4}+\frac{3}{x}+\frac{9}{2y}+\frac{4}{z}\)
\(=\left(\frac{3x}{4}+\frac{3}{x}\right)+\left(\frac{y}{2}+\frac{9}{2y}\right)+\left(\frac{z}{4}+\frac{4}{z}\right)+\left(\frac{x}{4}+\frac{y}{2}+\frac{3z}{4}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương, ta có:
\(A\ge2\sqrt{\frac{3x}{4}.\frac{3}{x}}+2\sqrt{\frac{y}{2}.\frac{9}{2y}}+2\sqrt{\frac{z}{4}.\frac{4}{z}}+\frac{1}{4}\left(x+2y+3z\right)\)
\(\Rightarrow A\ge2.\frac{3}{2}+2.\frac{3}{2}+2.1+\frac{1}{4}.20\)
\(\Rightarrow A\ge13\)
Dấu = xảy ra khi \(x=2\)\(;\)\(y=3\)\(;\)\(z=4\)
Vậy \(A_{Min}=13\Leftrightarrow x=;y=3;z=4\)
a) Hàm số (1) đồng biến khi: \(m-1>0\Rightarrow m>1\)
b) (d) đi qua điểm A(-1;2) suy ra x = -1 và y = 2
Thay x = -1 và y = 2 vào hàm số (1) ta có: \(2=\left(m-1\right)\times\left(-1\right)+2-m\Leftrightarrow2=1-m+2-m\)
\(2=-2m+3\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)
Xét tam giác ABH và tam giác AHC có:
góc H1= góc H2(=90o)
góc A1= góc C1(Phụ góc A2)
\(\Rightarrow\)\(\Delta ABH\Omega\Delta AHC\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AH}=\frac{AH}{HC}\Rightarrow AH^2=AB.HC=3.3,2=9,6\)
\(\Rightarrow AH=\sqrt{9,6}\approx3,1\left(cm\right)\)
Vây AH=3,1cm
Ta chứng minh bđt: \(\frac{x}{\sqrt{x-1}}\ge2\)
Thật vậy ta có: \(x=\left(x-1\right)+1\ge2\sqrt{x-1}\RightarrowĐPCM\)
Về bài toán, ta có:
\(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{b-1}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a-1}.\frac{b^2}{b-1}}=2.\frac{a}{\sqrt{a-1}}.\frac{b}{\sqrt{b-1}}\ge8\)
P/s: Ko chắc
\(\frac{a^2}{a-1}+\frac{^2b}{b-1}\)\(min\)
\(\Rightarrow\)a-1 min,b-1 min
mà a,b>1\(\Rightarrow\)a-1,b-1>0\(\Rightarrow\)a-1,b-1=1\(\Rightarrow\)a,b=2
vậy