S = \(\dfrac{1+4+4^2+4^3+4^4+...+4^{2021}}{1-4^{2022}}\)

Đặt tử số là A  thì S = \(\dfrac{A}{1-4^{2022}}\)

  A =      1 + 4  + 4² + 4³ + 4⁴ + ... + 4²⁰²¹

4A=       4  + 4² + 4³ + 4⁴ + 4⁵ + ....+ 4²⁰²²

4A - A = 4 + 4²+4³+4⁴+4⁵+...+4²⁰²²- (1+4+4²+4³+4⁴+...+4²⁰²¹)

4A     = 4 + 4² + 4³ + 4⁴+4⁵+4²⁰²² - 1 - 4 - 4² - 4³ - 4⁴ - ... - 4²⁰²¹

3A = (4 - 4) +(4² - 4²) + (4³-4³) + (4⁴ -4⁴) +...+(4²⁰²¹- 4²⁰²¹)+4²⁰²²- 1

3A = 4²⁰²² - 1

 A  = \(\dfrac{4^{2022}-1}{3}\)

S  = \(\dfrac{4^{2022}-1}{3}\). \(\dfrac{1}{1-4^{2022}}\)

S = - \(\dfrac{1}{3}\)

Ta đặt: \(A=1+4+4^2+...+4^{2021}\)

\(4A=4+4^2+4^3+...+4^{2022}\)

\(4A-A=4+4^2+4^3+...+4^{2022}-1-4-4^2-...-4^{2021}\)

\(3A=4^{2022}-1\)

\(A=\dfrac{4^{2022}-1}{3}\)

\(\Rightarrow S=\dfrac{1+4+4^2+...+4^{2021}}{1-4^{2022}}\)

\(=\dfrac{\left(4^{2022}-1\right):3}{1-4^{2022}}\)

\(=\dfrac{\left(4^{2022}-1\right)\cdot\dfrac{1}{3}}{-\left(4^{2022}-1\right)}\)

\(=-\dfrac{1}{3}\)

Gọi ƯCLN(n - 1; n - 2)  = d; ta có:

                              \(\left\{{}\begin{matrix}n-1⋮d\\n-2⋮d\end{matrix}\right.\)

                     n - 1 - (n - 2) ⋮ d

                     n - 1 - n + 2   ⋮ d

                   (n - n) + (2 - 1)⋮ d

                                       1 ⋮ d

                                 d = 1

⇒ƯCLN(n - 1; n - 2) = 1

Hay M = \(\dfrac{n-1}{n-2}\) là phân số tối giản (đpcm)

Goi ƯCLN $(n-1;n-2)=d\Rightarrow n-1:d$ và $n-2:d$ 

$\Rightarrow (n-1)-(n-2):d\Rightarrow 1:d$

$\Rightarrow d=1$ với mọi $n$.

Vậy với mọi $n\in \mathbb{Z}$ thì $M=\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{n-2}$ là phân số tối giản.

Bài 1:

Tên các bộ ba điểm thẳng hàng trong hình vẽ trên lần lượt là:

(A,B,F); (A,C,D); (B,E,D); (C,E,F)

Bài 2:

a; Vì I nằm giữa A và B nên AB = IA + IB

             IB = AB - IA =  9 - 4 = 5 (cm)

Kết luận IB = 5 cm

b;

Vì I nằm giữa A và B nên IA và IB là hai tia đối nhau

Mà E là trung điểm IB nên E \(\in\) IB

⇒ IA và IE là hai tia đối nhau nên I nằm giữa A và E

⇒ AE = IA + IE 

IE = \(\dfrac{1}{2}\)IB = 5 x \(\dfrac{1}{2}\)  = 2,5 (cm)

AE = 4 + 2,5 = 6,5 (cm)

Kết luận AE = 6,5 cm

Bài 1:

2MA = 3MB 

⇒ MA = \(\dfrac{3}{2}\)MB

Vì M nằm giữa A và B nên 

MA + MB = AB 

⇒ \(\dfrac{3}{2}\)MB + MB = AB

 \(\dfrac{5}{2}\)MB = AB

MB = AB : \(\dfrac{5}{2}\)

MB = 50 : \(\dfrac{5}{2}\) = 20 (cm)

MA =  50 - 20 = 30 (cm)

Kết luận: MB = 20cm; MA = 30 cm

Bài 2:

3MA = 4MB 

MA = \(\dfrac{4}{3}\)MB

Vì M nằm giữa A và B nên 

MA + MB = AB

⇒ \(\dfrac{4}{3}\)MB + MB = AB

 \(\dfrac{7}{3}\)MB = AB

MB = AB : \(\dfrac{7}{3}\) = 70 :  \(\dfrac{7}{3}\) = 30 (cm)

MA = AB - MB = 70 - 30 = 40 (cm)

Kết luận MB = 30 cm; MA = 40 cm

Chiều dài đám đất là \(60\cdot\dfrac{4}{3}=80\left(m\right)\)

Diện tích đám đất là: \(60\cdot80=4800\left(m^2\right)\)

Diện tích trồng cây là \(4800\cdot\dfrac{7}{12}=2800\left(m^2\right)\)

Diện tích phần còn lại là \(4800-2800=2000\left(m^2\right)\)

Diện tích đào ao thả cá là: \(2000\cdot30\%=600\left(m^2\right)\)

bài giải

chiều dài của mảnh đất là:

( 60 x 4 ) : 3 = 80 ( m )

diện tích mảnh đất là:

80 x 60 = 4800 ( m² )

diện tích ao thả cá là:

4800 x ( 12 - 7 ) : 12 = 2000 ( m² )

đáp số: 2000 m².

a) \(\dfrac{-5}{9}+\dfrac{8}{15}+\dfrac{-2}{11}+\dfrac{4}{-9}+\dfrac{7}{15}\)

\(=\left(\dfrac{-5}{9}+\dfrac{-4}{9}\right)+\left(\dfrac{8}{15}+\dfrac{7}{15}\right)+\dfrac{-2}{11}\)

\(=-1+1+\dfrac{-2}{11}\)

\(=\dfrac{-2}{11}\)

b) \(\left(\dfrac{7}{2}\cdot\dfrac{5}{6}\right)+\left(\dfrac{7}{6}:\dfrac{2}{7}\right)\)

\(=\dfrac{7}{6}\cdot\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{6}\cdot\dfrac{7}{2}\)

\(=\dfrac{7}{6}\cdot\left(\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{2}\right)\)

\(=\dfrac{7}{6}\cdot1=\dfrac{7}{6}\)

NGU

a)Ta có:

\(\dfrac{-3}{8}=\dfrac{\left(-3\right).3}{8.3}=\dfrac{-9}{24}\)

\(\dfrac{5}{-12}=\dfrac{-5}{12}=\dfrac{-5.2}{12.2}=\dfrac{-10}{24}\)

Vì \(\dfrac{-9}{24}>\dfrac{-10}{24}\) nên \(\dfrac{-3}{8}>\dfrac{5}{-12}\)

b)Ta có:

\(\dfrac{3131}{5252}=\dfrac{3131:101}{5252:101}=\dfrac{31}{52}\)

\(\dfrac{31}{52}=\dfrac{31}{52}\)

Vì \(\dfrac{31}{52}=\dfrac{31}{52}\) nên \(\dfrac{3131}{5252}=\dfrac{31}{52}\)

a: \(\dfrac{-3}{8}=\dfrac{-3\cdot3}{8\cdot3}=\dfrac{-9}{24}\)

\(\dfrac{5}{-12}=\dfrac{-5}{12}=\dfrac{-5\cdot2}{12\cdot2}=\dfrac{-10}{24}\)

mà \(-\dfrac{9}{24}>-\dfrac{10}{24}\left(-9>-10\right)\)

nên \(-\dfrac{3}{8}>\dfrac{5}{-12}\)

b: \(\dfrac{3131}{5252}=\dfrac{3131:101}{5252:101}=\dfrac{31}{52}\)

Số HS yếu: 1/12 x 48 = 4 (HS)

Số HS khá: 1/4 x 48 = 12 (HS)

Số HS trung bình: 10 : 5/8 = 16 (HS)

Số HS giỏi: 48 - (4+12+16) = 16 (HS)

Đ.số:..

   Đây là dạng toán chuyên đề về phân số, tìm giá trị phân số của một số và tìm một số khi biết giá trị của phân số của nó.

    Giải:

Số học sinh yếu là:

   48 x \(\dfrac{1}{12}\) = 4 (học sinh)

Số học sinh khá là: 48 x \(\dfrac{1}{4}\) = 12 (học sinh)

Số học sinh trung bình là:

  10 : \(\dfrac{5}{8}\) = 16 (học sinh)

Số học sinh giỏi là:

48 - 4 - 12 - 16 = 16 (học sinh)

Kết luận:..

a) \(x+\dfrac{5}{3}=\dfrac{1}{27}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{27}-\dfrac{5}{3}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{27}-\dfrac{45}{27}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{-44}{27}\)

b) \(\dfrac{x}{15}=\dfrac{3}{5}+\dfrac{-2}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{15}=\dfrac{9}{15}+\dfrac{-10}{15}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{15}=\dfrac{-1}{15}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{-1}{15}\cdot15\)

\(\Rightarrow x=-1\)

c) \(\dfrac{3x}{4}=\dfrac{18}{3x+1}\left(x\ne-\dfrac{1}{3}\right)\)

\(\Rightarrow18\cdot4=3x\left(3x+1\right)\)

\(\Rightarrow72=3x\cdot\left(3x+1\right)\)

\(\Rightarrow24=x\cdot\left(3x+1\right)\)

\(\Rightarrow24=3x^2+x\)

\(\Rightarrow3x^2+x-24=0\)

\(\Rightarrow3x^2-8x+9x-24=0\)

\(\Rightarrow x\left(3x-8\right)+3\left(3x-8\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x+3\right)\left(3x-8\right)=0\)

TH1: \(x+3=0\)

\(\Rightarrow x=-3\) (nhận)

TH2: \(3x-8=0\)

\(\Rightarrow3x=8\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{8}{3}\) (nhận) 

a) \(x-\dfrac{5}{7}=\dfrac{2}{7}\cdot\dfrac{11}{5}\)

\(\Rightarrow x-\dfrac{5}{7}=\dfrac{22}{35}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{22}{35}+\dfrac{5}{7}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{22+25}{35}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{47}{35}\)

b) \(\dfrac{3}{4}-x=1\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{3}{4}-1\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{3}{4}-\dfrac{4}{4}\)

\(\Rightarrow x=-\dfrac{1}{4}\)

c) \(x+4=\dfrac{1}{5}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{5}-4\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{5}-\dfrac{20}{5}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{-19}{5}\)

d) \(x-\dfrac{1}{5}=2\)

\(\Rightarrow x=2+\dfrac{1}{5}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{10}{5}+\dfrac{1}{5}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{11}{5}\)