Dễ thấy M>0.

Ta cần chứng minh M<1.Thật vậy!

\(M=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+.....+\frac{1}{45^2}\)

\(< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{44\cdot45}\)

\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+.....+\frac{1}{44}-\frac{1}{45}\)

\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{45}\)

\(< 1\)

\(\Rightarrow0< M< 1\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Hình bạn tự vẽ nha

Gọi G là điểm giao nhau giữa BD và CE

Xét tam giác BGC có: BG + GC >BC

Vì BD và CE là 2 đường trung tuyến của tam giác ABC

=> BG = 2/3 BD ; GC = 2/3 CE

Mà BG + GC = BC

=> 2/3 BD + 2/3 CE > BC

<=>. 2/3 * (BD+CE) > BC

<=> BD + CE > 3/2 BC (ĐPCM)

Vậy BD + CE > 3/2 BC

Dấu * là nhân nha bạn

A B C O N M

a) Ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{ABO}+\widehat{OBM},\widehat{ACB}=\widehat{ACO}+\widehat{OCB}\)

=> \(\widehat{ABC}-\widehat{ACB}=\widehat{ABO}+\widehat{OBC}-\widehat{ACO}-\widehat{OCB}=\left(\widehat{ABO}-\widehat{ACO}\right)+\left(\widehat{OBC}-\widehat{OCB}\right)\)

Mà các đường trung trực của AB, AC cắt nhau tại O

=> O là trực tâm

=> O thuộc đường trung trực của Bc

=> \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\Rightarrow\widehat{OBC}-\widehat{OCB}=0\)

=>  \(\widehat{ABC}-\widehat{ACB}=\widehat{ABO}-\widehat{ACO}\)

Mặt khác O thuộc đường trung trực AB, AC

=> \(\widehat{ABO}=\widehat{BAO},\widehat{OAC}=\widehat{ACO}\)

Vậy nên \(\widehat{ABC}-\widehat{ACB}=\widehat{BAO}-\widehat{CAO}\)(*)

b) Ta có: M thuộc đường trung trực AB

=> \(\widehat{MBA}=\widehat{MAB}=\widehat{MAO}+\widehat{OAB}\)(1)

Tương tự N thuộc đường trung trực AC 

=>  \(\widehat{NCA}=\widehat{NAO}+\widehat{OAC}\)(2)

Từ (1) , (2) => \(\widehat{ABC}-\widehat{ACB}=\widehat{MBA}-\widehat{NCA}=\left(\widehat{MAO}+\widehat{OAB}\right)-\left(\widehat{NAO}+\widehat{OAC}\right)\)

\(=\left(\widehat{MAO}-\widehat{NAO}\right)+\left(\widehat{OAB}-\widehat{OAC}\right)\)(**)

Từ (*), (**) suy ra \(\widehat{MAO}-\widehat{NAO}=0\Rightarrow\widehat{MAO}=\widehat{NAO}\)

=> AO là phân giác góc MAN

Cảm ơn nha

a, x=\(\frac{7}{30}\)

giúp mình với

đ/a

11,11

Gọi a = 111...1 và b = 444...4 

Đặt 111...1 ( 2n chữ số 1 ) = k x 10ⁿ + k

Vì 10ⁿ = 9k + 1

111...1 ( 2n chữ số 1 ) = k x ( 9k + 1 ) + k = 9k² + k + k = 9k² + 2k

Ta có: 444...4 ( n chữ số 4 ) = 4k

Vậy a + b + 1 = 9k² + 2k + 4k + 1 = ( 3k )² + 2 x 3k x 1 + 1² = ( 3k + 1 )²

Vậy A = a + b + 1 là số chính phương.

Quả trứng

\(\Leftrightarrow-2\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\right]+7\left(x+\frac{1}{x}\right)=9\)
\(\Leftrightarrow-2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+4+7\left(x+\frac{1}{x}\right)-9=0\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+7\left(x+\frac{1}{x}\right)-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}-1\right)\left[-2x-\frac{2}{x}+5\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2-x+1}{x}\right)\left(\frac{-2x^2+5x-2}{x}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-x+1=0\left(vo-nghiem\right)\\-2x^2+5x-2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow-2x^2+5x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=\frac{1}{2}\end{cases}}\)