Tính    \(\frac{1}{2+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{100\sqrt{100}+100\sqrt{101}}\)

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \(\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\)

b) \(\left(x\sqrt{\frac{6}{x}}+\sqrt{\frac{2X}{3}}+\sqrt{6X}\right):\sqrt{6X}=2\frac{1}{3}\)với x > 0

Chứng minh rằng với a, b, c là các số đôi một khác nhau thì:

\(\frac{a^2\left(x-b\right)\left(x-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{b^2\left(x-c\right)\left(x-a\right)}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{c^2\left(x-a\right)\left(x-b\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=x^2\)

Q =(\(\frac{1}{\sqrt{a}-1}\)\(\frac{ }{ }\)\(\frac{1}{\sqrt{a}}\)) : (\(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}\)\(\frac{ }{ }\)\(\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\))

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức Q

b) Tìm các giá rị của a để biểu thức Q có giá trị âm.

Có thể cắt ra bao nhiêu hình chữ nhật có kích thước là 3*4 cm từ miếng giấy hình chữ nhật có kích thước là 13*12 cm

Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O. Phân giác của góc C và B cắt đường tròn lần lượt tại D và F. Gọi E là giao điểm của CD và BF. Chứng minh tứ giác ADEF là hình thoi.

Gọi x₁ là nghiệm âm của phương trình \(x^2+x-1=0\), Không giải phương trình, tính

\(D=\sqrt{x_1^8+10x_1+13}+x_1\)

GIẢI GẤP MÌNH BÀI NÀY VỚI :

VỚI GIÁ TRỊ NÀO CỦA m THÌ HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAU CÓ NGHIỆM DUY NHẤT :

\(\hept{\begin{cases}x+y+xy=3\\x^2+y^2=m\end{cases}}\)

Gọi a là nghiệm dương của phương trình: \(\sqrt{2}x^2+x-1=0\). Không giải phương trình  hãy tính giá trị của

\(C=\frac{2a-3}{\sqrt{2\left(2a^4-2a+3\right)}+2a^2}\)