a, Ta có : ^ACB = 90⁰ ( góc nt chắn nửa đường tròn ) 

Xét tứ giác BHKC có : 

^ACB + ^BHK = 180⁰ 

mà 2 góc này ở vị trí đối 

Vậy tứ giác BHKC là tứ giác nt 1 đường tròn 

b, Xét tam giác AKH và tam giác ABC ta có : 

^A _ chung 

^AKH = ^ABC ( do tứ giác BHKC là tứ giác nt mà ^AKI là góc ngoài đỉnh K ) 

hoặc bạn có thể chỉ ra 2 góc = 90⁰ vì dễ nhìn hơn nhé *mình làm màu thôi :v*

Vậy tam giác AKH ~ tam giác ABC ( g.g ) 

\(\frac{AK}{AB}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AK.AC=AH.AB\)(1) 

Lại có : ^AMB = 90⁰ ( góc nt chắn nửa đường tròn ) 

Xét tam giác AMB vuông tại M đường cao MH 

Ta có : \(AM^2=AH.AB\)(2) 

Từ (1) ; (2) suy ra \(AM^2=AK.AC\)

mà ^AKH là góc ngoài đỉnh K nhé 

Gọi chiều dài của mảnh đất hcn là x(m),chiều rộng của mảnh đất hcn là y(m) (0<y<x).
Diện tích ban đầu của mảnh đất đó là : xy(m²).

Sau khi tăng chiều dài 2m và chiều rộng thêm 5m thì diện tích mới của mản đất đó là:(x+2)(y=5)  (m²). (1)

Vì nếu tăng chiều dài 2m và chiều rộng thêm 5m thì diện tích tăng thêm 120m2,nên ta có pt:(x+2)(y=5) -xy=120.
Sau khi giảm chiều dài 3m và chiều rộng đi 2m thì diện tích của mảnh đất đó là: (x-3)(y-2) (m²).
Vì Nếu giảm chiều dài 3m và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm 60m2,nên ta có pt : xy-(x-3)(y-2)=60. (2) 

• Còn lại hệ pt tự giải nốt nhé

a. Theo tc 2 tt cắt nhau: \(AC=AM;BM=BD\)

\(\Rightarrow AC+BD=AM+BM=AB\)

b. \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AMO}=\widehat{ACO}=90^0\\AC=AM\\AO.chung\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta AOC=\Delta AOM \)

\(\Rightarrow\widehat{COA}=\widehat{AOM}=\dfrac{1}{2}\widehat{COM}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ODB}=\widehat{OMB}=90^0\\BD=MB\\OB.chung\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta OBD=\Delta OBM\\ \Rightarrow\widehat{DOB}=\widehat{BOM}=\dfrac{1}{2}\widehat{DOM}\)

\(\Rightarrow\widehat{AOB}=\widehat{AOM}+\widehat{BOM}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{COM}+\widehat{DOM}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\\ \Rightarrow\Delta OAB\text{ vuông tại O}\)

c. Áp dụng HTL: \(AM\cdot MB=OM^2=R^2\)

Mà \(CD=2R;AM=AC;BM=BD\)

Vậy \(AC\cdot BD=AM\cdot BM=R^2=\left(\dfrac{CD}{2}\right)^2=\dfrac{CD^2}{4}\)

\(\left(y^2+4\right)\left(x^2+y^2\right)=8xy^2\).

\(\Leftrightarrow y^2\left(x-2\right)^2+\left(y^2-2x\right)^2=0\).

Vì \(y^2\left(x-2\right)^2\ge0;\left(y^2-2x\right)^2\ge0\).

\(\Rightarrow y^2\left(x-2\right)^2+\left(y^2-2x\right)^2\ge0\).

Dấu "=" xảy ra.

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y\left(x-2\right)=0\\y^2=2x\end{cases}}\).\(\Leftrightarrow....\)

\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;0\right);\left(2;2\right);\left(2;-2\right)\right\}\).
Vậy phương trình có nghiệm nguyên \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;0\right);\left(2;2\right);\left(2;-2\right)\right\}\)