cho A=1+4+4^2+4^3+........+4^99 va B=4^100.Chứng tỏ A <\(\frac{1}{3}B\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
NT
0
MN
0
NT
1
20 tháng 12 2014
Ta có : A = 1030 = 103.10 = 100010
B = 2100 = 210.10 = 102410
Ta thấy 1000 < 1024 nên 100010 < 102410 hay 1030 < 2100
MN
0
HD
0
NT
0
\(=>4A=4+4^2+...+4^{99}+4^{100}\)
\(=>4A-A=\left(4+4^2+...+4^{99}+4^{100}\right)-\left(1+4+4^2+...+4^{99}\right)\)
\(=>3A=4^{100}-1\)
\(=>A=\frac{4^{100}-1}{3}\)
\(\frac{1}{3}B=\frac{4^{100}}{3}\)
=> A<\(\frac{1}{3}B\)
A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 499
4A = 4( 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 499 )
4A = 4 + 42 + 43 + ... + 4100
4A - A = 3A
= ( 4 + 42 + 43 + ... + 4100 ) - ( 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 499 )
= 4 + 42 + 43 + ... + 4100 - 1 - 4 - 42 - 43 - ... - 499
= 4100 - 1
=> \(A=\frac{4^{100}-1}{3}\)
B = 4100 => \(\frac{1}{3}B=4^{100}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4^{100}}{3}\)
\(4^{100}-1< 4^{100}\Rightarrow\frac{4^{100}-1}{3}< \frac{4^{100}}{3}\Rightarrow A< \frac{1}{3}B\left(đpcm\right)\)