A B C D E F M N

a, Vì ABCD là hình bình hành

\(\Rightarrow AD=BC;AD//BC\left(t.c\right)\)

Mà \(AE=ED=\frac{1}{2}AD;BF=FC=\frac{1}{2}BC\)

\(\Rightarrow ED=BF;ED//BF\)

\(\Rightarrow EDFB\) là hình bình hành ( dấu hiệu )

\(\Rightarrow EB//DF\left(t.c\right)\)

Lại có: \(M\in EB;N\in FD\) ( do BE cắt AC ở M; DF cắt AC ở N )

\(\Rightarrow EM//DN\)

\(\Rightarrow EMND\) là hình thang ( dấu hiệu )

b, Vì \(AD//BC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{BCA}\) ( so le trong )

Hay \(\widehat{EAM}=\widehat{FCN}\)   (1)

Vì EDFB là hình bình hành ( cm ở câu a )

\(\Rightarrow\widehat{BED}=\widehat{BFD}\left(t.c\right)\)

Mà \(\widehat{AEM}+\widehat{BED}=180^o;\widehat{CFN}+\widehat{BFD}=180^o\) ( các góc kề bù )

\(\Rightarrow\widehat{AEM}=\widehat{CFN}\)   ( 2 )

Lại có : AE = FC ( chứng minh ở câu a )                   (3)

Từ (1); (2); (2) suy ra : \(\Delta AME=\Delta CNF\left(g.c.g\right)\)

\(\left(\frac{1}{x}+1-\frac{3}{x^3+1}-\frac{3}{x^2-x+1}\right)\cdot\frac{3x^2-3x+3}{\left(x+1\right).\left(x+2\right)}-\frac{2x-2}{x^2+2x}\)

\(=\left(\frac{x+1}{x}-\frac{3}{\left(x+1\right).\left(x^2-x+1\right)}+\frac{3.\left(x+1\right)}{\left(x+1\right).\left(x^2-x+1\right)}\right)\cdot\frac{3.\left(x^2-x+1\right)}{\left(x+1\right).\left(x+2\right)}-\frac{2.\left(x-1\right)}{x.\left(x+2\right)}\)

\(=\left[\frac{\left(x+1\right)^2.\left(x^2-x+1\right)-3x+3x^2+3x}{x.\left(x+1\right).\left(x^2-x+1\right)}\right]\cdot\frac{3.\left(x^2-x+1\right)}{\left(x+1\right).\left(x+2\right)}-\frac{2.\left(x-1\right)}{x.\left(x+2\right)}\)

\(=\left[\frac{x^4+x^3+x+1+3x^2}{x.\left(x+1\right).\left(x^2-x+1\right)}\right]\cdot\frac{3.\left(x^2-x+1\right)}{\left(x+1\right).\left(x+2\right)}-\frac{2.\left(x-1\right)}{x.\left(x+2\right)}\)

\(=\frac{3x^4+3x^3+3x+3+9x^2}{x.\left(x+1\right)^2.\left(x+2\right)}-\frac{2.\left(x-1\right)}{x.\left(x+2\right)}=\frac{3x^4+3x^3+3x+3+9x^2}{x.\left(x+1\right)^2.\left(x+2\right)}-\frac{2x^3+2x^2-2x-2}{x.\left(x+1\right)^2.\left(x+2\right)}\)

\(=\frac{3x^4+x^3+7x^2+5x+5}{x.\left(x+1\right)^2.\left(x+2\right)}\)

\(a,\frac{3x^3+6x^2}{x^3+2x^2+x+2}=\frac{3x^2\left(x+2\right)}{x^2\left(x+2\right)+\left(x+2\right)}\)

\(=\frac{3x^2\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x^2+1\right)}\)

\(\RightarrowĐKXĐ:x\ne-2\)

\(b,\) Với \(x\ne-2\) thì :

\(\frac{3x^3+6x^2}{x^3+2x^2+x+2}=\frac{3x^2\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x^2+1\right)}\)

\(=\frac{3x^2}{x^2+1}\)

Vì \(3x^2,\left(x^2+1\right)\ge0vs\forall x\)

\(\Rightarrow\frac{3x^2}{x^2+1}\ge0\)

Do đó : Giá trị của phân thức luôn không âm khi nó được xác định.

\(a^3+1+1\ge3\sqrt[3]{a^3.1.1}=3a\)

Thiết lập tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế,ta có:

\(a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge39\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\ge33\)

Mà theo đề bài \(a^3+b^3+c^3=27< 33\rightarrow\)vô lí.

Do đó đề sai!