(x-y)(x+y)(x^2+y^2)

\(\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-y^2\right)\)

Dựa vào hằng đẳng thức thứ 3 : (A + B)(A - B) = A² - B²

=> \(\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-y^2\right)=\left(x^2\right)^2-\left(y^2\right)^2=x^4-y^4\)

Số số hạng là : \(\frac{1999-1}{1}+1=1999\) (số số hạng)

Tổng là : \(\frac{\left(1999+1\right)1999}{2}=1999000\)

Số số hạng 

\(\left(1999-1\right):1+1=1999\) 

Tổng 

\(\left(1999+1\right)\cdot1999:2=1999000\)

Giờ đây tuy tôi đã là học sinh lớp tám rồi nhưng mồi khi nghe thấy tiếng trống “tùng... tùng... tùng... rất rõ năm đó là năm hai ngàn không trăm lẻ bảy. Vào hôm trước khi ngày khai trường diễn ra, tôi lấy làm hồi hộp và trong đầu cứ suy nghĩ về nhiều thứ liên quan đến trường lớp nào là “mình sẽ vào học ngôi trường như thế nào đây?”, “bạn bè có tốt không?”, “thầy cô có dữ không?”. Và những ngày này, ba mẹ tôi rất bận rộn. Không phải bận rộn vì công việc mà vì lo cho ngày khai trường đầu tiên của tôi. Ba thì đi mua giấy bao vở, dán nhãn, tập vở. Mẹ thì đi mua sách giáo khoa. Khi bao tập, tôi cứ nói thầm trong lòng không được làm dơ bất cứ cuốn tập nào nhưng suy nghĩ đó không được thực hiện tốt. Tôi đã làm rách bia giấy bao tập. Tôi liền òa khóc lên nhưng nhờ mẹ tôi dỗ dành, an ủi nên tôi mới thôi không khóc nữa. Ba thì chỉ cho tôi bao vở làm sao cho đúng cách và cẩn thận, dán nhãn ra sao cho đẹp và dính chặt. Chị hai thi viết tên của tôi lên các giấy nhãn đó. Ôi! Những con chữ như rồng bay phượng múa thật tuyệt đẹp.

Bài này là bài cực khó, phạm vi toán lớp 10 rất khó để giải quyết trọn vẹn bài này nên mình xin phép dùng 1 số kiến thức của lớp 11, có gì khó hiểu thì bạn nhắn cho mình, hoặc nên tự tìm hiểu trên mạng nha !! :))

a) G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\)

 \(P_{G/\left(O\right)}=OG^2-R^2=\left(\overrightarrow{OG}\right)^2-R^2=\frac{1}{9}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)^2-R^2\)

\(=\frac{\overrightarrow{OA}^2+\overrightarrow{OB}^2+\overrightarrow{OC}^2+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}}{9}-R^2\)

Vì \(\overrightarrow{OA}^2=OA^2=R^2,\overrightarrow{OB}^2=OB^2=R^2,\overrightarrow{OC}^2=OC^2=R^2\)

nên \(\frac{\overrightarrow{OA}^2+\overrightarrow{OB}^2+\overrightarrow{OC}^2+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}}{9}-R^2=\frac{3R^2+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}}{9}-R^2\)

\(=\frac{-6R^2+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}}{9}=-\frac{\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right)^2+\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}\right)^2+\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\right)^2}{9}\)

\(=-\frac{\overrightarrow{BA}^2+\overrightarrow{CA}^2+\overrightarrow{CB}^2}{9}=-\frac{AB^2+AC^2+BC^2}{9}\)

b) Theo ĐỊNH LÍ EULER: \(OH=3OG\)

Theo câu a: \(9OG^2-9R^2=-AB^2-AC^2-BC^2\)

\(P_{H/\left(O\right)}=OH^2-R^2=9OG^2-9R^2+8R^2=8R^2-AB^2-AC^2-BC^2\)

Có: \(\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}=\frac{CA}{sinB}=2R\)thế lên trên ta được:

\(8R^2-AB^2-AC^2-BC^2=8R^2-4R^2sin^2C-4R^2sin^2A-4R^2sin^2B\)

\(=4R^2\left(2-sin^2A-sin^2B-sin^2C\right)=4R^2\left(cos^2A+cos^2B+cos^2C-1\right)\)(*)

Xét: \(cos^2A+cos^2B+cos^2C=\frac{1+cos2A}{2}+\frac{1+cos2B}{2}+cos^2C\)

\(=1+\frac{1}{2}\left(cos2A+cos2B\right)+cos^2C=1+cos\left(A+B\right).cos\left(A-B\right)+cos^2C\)

Xét \(cos\left(A+B\right)=cos\left(180^0+C\right)=-cosC\)thế lên trên ta được:

\(1+cos\left(A+B\right).cos\left(A-B\right)+cos^2C=1-cosC.cos\left(A-B\right)-cosC.cos\left(A+B\right)\)

\(1-cosC.\left[cos\left(A+B\right)+cos\left(A-B\right)\right]=1-2cosC.cosA.cos\left(-B\right)\)

Mà \(cos\left(-B\right)=cos\left(B\right)\)nên ta kết luận: \(cos^2A+cos^2B+cos^2C=1-2cosA.cosB.cosC\)

Thế vào (*): \(\Rightarrow P_{H/\left(O\right)}=4R^2\left(1-2cosA.cosB.cosC-1\right)=-8R^2cosA.cosB.cosC\)

Đề hơi sai nha bạn, mà thoi không sao :))

\(x^3+1=\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)

=> \(\left(x^6-1\right)=\left(\left(x^3\right)^2-1\right)=\left(x^3-1\right)\left(x^3+1\right)=\left(x^3-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)⋮x^2-x+1\)

Dạo này bận quá ít thời gian làm =((( 

\(x^6-1\)  

\(=\left(x^3\right)^2-1^2\) 

\(=\left(x^3-1\right)\left(x^3+1\right)\) 

\(=\left(x^3-1^3\right)\left(x^3+1^3\right)\) 

\(=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)⋮\left(x^2-x+1\right)\forall x\left(đpcm\right)\)

a=\(105^2\)

b=\(84^2\)

 2 số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 462 là : 21,22

3 số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 7980 là : 19,20,21

Đặt \(t=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\ge0\)thì \(\sqrt{x-x^2}=\frac{t^2-1}{2}\)

Khi đó phương trình đã cho trở thành phương trình bậc hai với ẩn là t:

\(1+\frac{t^2-1}{3}=t\Leftrightarrow t^2-3t+2=0\Leftrightarrow t=1;t=2\). Vậy ta có:

\(\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=1\\\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=2\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2\sqrt{x-x^2}=0\\VN\left(VT< 2\right)\end{cases}\Leftrightarrow}x=0,x=1}\)