\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)

\(=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Ta c/m BĐT phụ: \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)( b tự c/m nhé. Chuyển vế, c/m VP>=0 là xong )

\(\Rightarrow\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2.\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

                                               đpcm

Có thể c/m luôn giùm bđt phụ không ạ?

Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a+ab^2-ab^2}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)}{1+b^2}-\frac{ab^2}{1+b^2}\)

                                                               \(=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\)

Áp dụng bđt Cô-si ta có: \(1+b^2\ge2\sqrt{b^2}=2b\)

\(\Rightarrow\frac{ab^2}{1+b^2}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)

\(\Rightarrow a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)

C/m tương tự \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\)

                     \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)

Cộng từng vế của 3 bđt trên lại ta đc

\(VT\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)

Ta có bđt: \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)(1) với x , y , z dương 

Thật vậy \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3xy+3yz+3zx\)

                      \(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\ge3xy+3yz+3zx\)

                      \(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\ge0\)

                    \(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

                    \(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

Áp dụng bđt (1) ta đc \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)

Khi đó: \(VT\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" <=> a = b = c = 1

Vậy .............

Công của lực kéo: 

a = F.s = 5000.1000= 5000000 (J) = 5000 (kJ)

Chúc bạn học tốt!!!

 A=F.s=5000.1000=5000 (KJ)

Là mây

không khí ,vạn vật, mây.

1+2+2019=2022

học tốt nha !!!!!!

1 + 2  + 2019

= 3 + 2019

= 2022

đổi nha

Bài làm

123 + 321 = 444

~ Mời đọc nội quy ~

I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"

1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;

2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.

3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.

Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.

# Nhớ kĩ nội quy đó #

không rảnh