\(HPT\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=3+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\\..\\...\end{cases}}\)

đến đây cộng vế 3 PT ta sẽ tính được \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\) khi đó thay vào PT đầu giải

Xét (x,y,z)=(0,0,m),(0,n,0),(p,0,0) là nghiệm của hệ(m,n,p\(\in\)R)

Xét xyz\(\ne\)0

hpt\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\\\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)^2\\\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\end{cases}}\)

Đặt\(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)

hệ tt

\(\hept{\begin{cases}a^2+a+3=\left(b+c\right)^2\\b^2+b+4=\left(c+a^2\right)\\c^2+c+5=\left(a+b\right)^2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a+b+c+\frac{1}{2}\right)\left(b+c-a-\frac{1}{2}\right)=\frac{11}{4}\\\left(a+b+c+\frac{1}{2}\right)\left(c+a-b-\frac{1}{2}\right)=\frac{15}{4}\\\left(a+b+c+\frac{1}{2}\right)\left(a+b-c-\frac{1}{2}\right)=\frac{19}{4}\end{cases}}}\)

đặt rồi tự giải tiếp

Ta có: \(\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)=\frac{1}{2}\)

=>\(\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}+xy-x\sqrt{y^2+1}-y\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2}\left(1\right)\)

Lại có: \(\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)=\frac{1}{2}\)

=>\(\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}.\frac{y^2+1-y^2}{\sqrt{y^2+1}+y}=\frac{1}{2}\)

=>\(\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)=2\)

=>\(\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}+xy+x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}=2\left(2\right)\)

Lấy (1)+(2) ta đc:

\(2\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}+2xy=\frac{5}{2}\)

=>\(\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=\frac{5}{4}-xy\)

=>\(x^2y^2+x^2+y^2+1=\frac{25}{16}-\frac{5}{2}xy+x^2y^2\)

=>\(x^2+y^2+\frac{5}{2}xy=\frac{9}{16}\)

=>\(\left(x+y\right)^2+\frac{1}{2}xy=\frac{9}{16}\)

Vì \(\frac{1}{2}xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{8}\)

=>\(\frac{9}{8}.\left(x+y\right)^2\ge\frac{9}{16}\)

=>\(x+y\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Vậy Min \(F=\frac{1}{\sqrt{2}}< =>x=y=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)

câu hệ sao từ x^7-y^14 sao xuống đc (x-y^2)(x+y^2) ? 

Bổ đề:  \(\left(mn+np+pm\right)^2\ge3mnp\left(m+n+p\right)\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2+2mnp\left(m+n+p\right)\ge3mnp\left(m+n+p\right)\)\(\Leftrightarrow m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2\ge mnp\left(m+n+p\right)\)\(\Leftrightarrow m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2-mnp\left(m+n+p\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(mn-np\right)^2+\left(np-pm\right)^2+\left(pm-mn\right)^2\ge0\)*đúng*

Vậy bổ đề được chứng minh

Áp dụng vào bài toán, ta được: \(\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3xyz\left(x+y+z\right)\)hay \(\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3\left(x+y+z\right)\)(Do xyz = 1)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y+z}\ge\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\Rightarrow A\ge\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}-\frac{2}{xy+yz+zx}\)

Đặt \(\frac{1}{xy+yz+zx}=s\)thì \(A\ge3s^2-2s=3\left(s^2-\frac{2}{3}s+\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{3}=3\left(s-\frac{1}{3}\right)^2-\frac{1}{3}\ge-\frac{1}{3}\)

Vậy \(A\ge-\frac{1}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x=y=z\\\frac{1}{xy+yz+zx}=\frac{1}{3}\end{cases}}\Rightarrow x=y=z=1\)

Vậy \(MinA=-\frac{1}{3}\), đạt được khi x = y = z = 1

viết tạm vào đây vậy 

sau khi nhân ra ta có ...và Áp dụng bu nhi ta có 

\(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\)

=> \(\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge\left(y+z\right)\left(x+\sqrt{yz}\right)=xy+xz+\left(y+z\right)\sqrt{yz}\)

mà \(y+z\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\left(y+z\right)\sqrt{yz}\ge2yz\)

=> \(\frac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}{x}\ge y+z+\frac{2yz}{x}\)

mấy cái kia tương tự rồi cộng vào

Ta có:

\(4\sqrt{8-x}+4\sqrt{8-y}+4\sqrt{8-z}\)

\(\le8-x+4+8-y+4+8-z+4\)

\(=36-x-y-z\)

\(=48-\left(x+4\right)-\left(y+4\right)-\left(z+4\right)\)

\(\le48-4\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

\(=48-4.6=24\)

\(\Rightarrow\sqrt{8-x}+\sqrt{8-y}+\sqrt{8-z}\le6\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=4\)     

bạn tham khảo nhé:

Vì \(x,y,z\ge0\)không mất tính tổng quát ta giả sử \(x\ge y\ge z\)

hệ \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3\sqrt{x}=6\\3\sqrt{8-x}=6\end{cases}\Leftrightarrow3\sqrt{x}=3\sqrt{8-x}\Leftrightarrow x=4}\)

\(\Rightarrow4\ge y\ge z\)

Nếu \(x=1\)thì \(\sqrt{8-x}=\sqrt{7}\left(L\right)\)

nếu \(x=2\)thì \(\sqrt{x}=\sqrt{2}\left(L\right)\)

\(\)nếu \(x=3\)thì \(\sqrt{x}=\sqrt{3}\left(L\right)\)

Loại vì các số vô tỉ không thẻ nào cộng lại là 1 số nguyên

Vậy \(\left(x;y;z\right)\)là \(\left(4;4;4\right)\)

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^4-2xy^3=0\left(1\right)\\x^2+2y^2-2xy=1\left(2\right)\end{cases}}\)

Thế (2) vào 1 ta được

\(\left(x^2+2y^2-2xy\right)x^2+y^4-2xy^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=y\)

Thế vô (2) ta được

\(x^2+2x^2-2x^2=1\)

\(\Leftrightarrow x^2=1\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=1\\x=y=-1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^4=2xy^3&\left(x-y\right)^2+y^2=1&\end{cases}}\)

áp dụng bđt cô si ta có:

\(x^2+y^4\ge2xy^2\Leftrightarrow2xy^3\ge2xy^2\Rightarrow y\ge1\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2\ge0+1=1\Rightarrow x=y=1\)