a) \(\frac{HA'}{AA'}=\frac{S_{HA'C}}{S_{AA'C}}=\frac{S_{BHA'}}{S_{AA'B}}=\frac{S_{HA'C}+S_{BHA'}}{S_{AA'C}+S_{AA'B}}=\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}\)

Tương tự : \(\frac{HB'}{BB'}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}};\frac{HC'}{CC'}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)

\(\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=1\)

b) Ta có : \(\frac{AN}{BN}=\frac{AI}{BI}\)

Mà \(\frac{AI}{CI}=\frac{AM}{CM}\)\(\Rightarrow AI=\frac{AM}{CM}.CI\)

\(\Rightarrow\frac{AN}{BN}=\frac{AM}{CM}.\frac{CI}{BI}\Rightarrow AN.CM.BI=BN.AM.CI\)

A B C D A' I C' P x B' H

Vẽ Cx \(\perp\)CC' 

vẽ D đối xứng với A qua Cx ; DA cắt Cx tại P \(\Rightarrow\)CD = AC

C/m đc CC'AP là hình chữ nhật

\(\Rightarrow\)CC' = AP = PD ; \(\widehat{BAD}=90^o\)

Ta có : BD \(\le\)BC + CD . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\Delta BAD\)vuông tại A \(\Rightarrow\)AC = BC

\(\Rightarrow\)BD² \(\le\)( BC + CD )²

\(\Delta BAD\)vuông A \(\Rightarrow\)BD² = AB² + AD²

\(\Rightarrow\)AB² + AD² \(\le\)( BC + AC )² 

\(\Rightarrow\)AD² \(\le\)( BC + AC )² - AB² 

\(\Rightarrow\)4CC'² \(\le\)( BC + AC )² - AB²  . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AC = BC

Tương tự , 4BB'² \(\le\)( AB + BC )² - AC² .  Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = BC

4CC'² \(\le\)( AB + AC )² - BC² . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = AC

Cộng 3 vế ta được : 4 ( AA'² + BB'² + CC'² ) \(\le\)( AB + BC + AC )² 

\(\Rightarrow\)\(\frac{\left(AB+BC+AC\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\ge4\). Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = BC = AC

câu a,b thì mình làm được còn câu c,d thì mình chưa làm ra. Chân thành xin lỗi

a) có \(\widehat{BDC}=45^0\)(ABCD là hình vuông, BD là đường chéo)

\(\widehat{DKN}\left(hay\widehat{DKH}\right)=45^0\)(CHIK là hình vuông và KH là đường chéo)

\(\Rightarrow\widehat{BDC}+\widehat{DKN}=45^0+45^0=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta DKN\)vuông tại N

\(\Rightarrow KN\perp DN\)

mà \(BC\perp DK\)

 KN và BC cắt nhau tại H

suy ra H là trực tâm của tam giác BDK

nên \(DH\perp BK\)

b) Xét \(\Delta DMB\&\Delta KNB\)

có \(\widehat{DMB}=\widehat{KNB}\)=90⁰

\(\widehat{DBK}chung\)

\(\Rightarrow\Delta DMB\) \(\Delta KNB\)(g-g)

\(\Rightarrow\frac{MB}{NB}=\frac{BD}{BK}\)

từ tỉ số trên ta đễ chứng minh \(\Delta BMN\)\(\Delta BDK\)

cm tương tự ta có \(\Delta CMK\)\(\Delta BDK\)

\(\Rightarrow\Delta BMN\)\(\Delta CMK\)

\(\Rightarrow\widehat{BMN}=\widehat{CMK}\)

lại có \(\hept{\begin{cases}\widehat{BMN}+\widehat{DMN}=90^0\\\widehat{CMK}+\widehat{DMC}=90^0\end{cases}}\)(\(DM\perp BK\))

\(\Rightarrow\widehat{DMN}=\widehat{DMC}\)

nên MD là phân giác của \(\widehat{NMC}\)

Điểm D ở đâu bạn???

BD bằng AB(D thuộc BC)

Mình không biết vẽ hình khi trả lời nên bạn tự vẽ nhé

Đầu tiên chứng minh \(NE=\frac{1}{6}AN\)

Qua E kẻ đường thẳng song song BF cắt AC tại K

Theo ta-lét ta có:

\(\frac{FK}{FC}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}\)=>\(\frac{FK}{ÀF}=\frac{1}{6}=\frac{NE}{AN}\)

Từ E,N,C kẻ các đường cao tới AB lần lượt là H,G,I

Theo talet ta có

\(\frac{EH}{CI}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3},\frac{NG}{EH}=\frac{AN}{AE}=\frac{6}{7}\)

=> \(\frac{NG}{CI}=\frac{2}{7}\)=> \(\frac{NG.AB}{CI.AB}=\frac{2}{7}\)

=> \(\frac{S_{ABN}}{S_{ABC}}=\frac{2}{7}\)

Tương tự \(\frac{S_{BPC}}{S_{ABC}}=\frac{2}{7}\),\(\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}}=\frac{2}{7}\)

=> \(S_{MNP}=S_{ABC}-S_{AMC}-S_{ABN}-S_{BCP}=\frac{1}{7}S_{ABC}\)

Vậy \(S_{MNP}=\frac{1}{7}S_{ABC}\)

trong đề thi chuyên hả bạn :>