a.

A là phân số khi \(2n-4\ne0\Rightarrow n\ne2\)

b.

\(A=\dfrac{2\left(n+11\right)}{2\left(n-2\right)}=\dfrac{n+11}{n-2}=\dfrac{n-2+13}{n-2}=1+\dfrac{13}{n-2}\)

A nguyên khi \(\dfrac{13}{n-2}\) nguyên

\(\Rightarrow n-2=Ư\left(13\right)=\left\{-13;-1;1;13\right\}\)

\(\Rightarrow n=\left\{-11;1;3;15\right\}\)

Gọi thời gian đội 1 và đội 2 hoàn thành công việc khi làm một mình lần lượt là x(ngày) và y(ngày)

(Điều kiện: x>0 và y>0)

Trong 1 ngày, đội 1 làm được \(\dfrac{1}{x}\left(côngviệc\right)\)

Trong 1 ngày, đội 2 làm được \(\dfrac{1}{y}\left(côngviệc\right)\)

Trong 1 ngày, hai đội làm được \(\dfrac{1}{12}\left(côngviệc\right)\)

Do đó: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\left(1\right)\)

Trong 8 ngày, đội 1 làm được \(\dfrac{8}{x}\)(công việc)

Trong 8+7=15 ngày, đội 2 làm được: \(\dfrac{15}{y}\left(côngviệc\right)\)

Sau khi làm xong chung 8 ngày thì đội 1 đi làm việc khác, đội 2 hoàn thành phần còn lại trong 7 ngày nên ta có: \(\dfrac{8}{x}+\dfrac{15}{y}=1\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{8}{x}+\dfrac{15}{y}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}=\dfrac{2}{3}\\\dfrac{8}{x}+\dfrac{15}{y}=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{7}{y}=-\dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=21\\\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{21}=\dfrac{1}{28}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=28\\y=21\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Vậy: thời gian đội 1 và đội 2 hoàn thành công việc khi làm một mình lần lượt là 28 ngày và 21 ngày

Số học sinh loại Tốt là:

\(45\times\dfrac{1}{3}=15\) (học sinh)

Số học sinh loại Khá là:

\(45\times\dfrac{2}{5}=18\) (học sinh)

Số học sinh loại Đạt là:

\(\left(45-15-18\right)\times\dfrac{11}{12}=11\) (học sinh)

Số học sinh loại chưa đạt là:

\(45-15-18-11=1\) (học sinh)

  Giải:

Số học sinh tốt là: 45 x \(\dfrac{1}{3}\) = 15 (học sinh)

Số học sinh khá là: 45 x \(\dfrac{2}{5}\) = 18 (học sinh)

Số học sinh đạt là: (45 - 15 - 18) x \(\dfrac{11}{12}\) = 11 (học sinh)

Kết luận:..

\(\dfrac{3}{1.2}+\dfrac{3}{2.3}+\dfrac{3}{3.4}+...+\dfrac{3}{2021.2022}\)

\(=3\left(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{2021.2022}\right)\)

\(=3.\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{2021}-\dfrac{1}{2022}\right)\)

\(=3.\left(1-\dfrac{1}{2022}\right)\)

\(=\dfrac{2021}{674}\)

Phải là \(\dfrac{3}{3.5}\) chứ em ơi?

\(\left(x-2\right).\left(x-2\right)+2024=\left(x-2\right)^2+2024\ge2024\forall x\in R\\ Vậy:min_{BT}=2024\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\)

Lời giải:

$\frac{3}{1\times 3}+\frac{3}{3\times 5}+\frac{3}{5\times 7}+....+\frac{3}{57\times 59}$

$=\frac{3}{2}(\frac{3-1}{1\times 3}+\frac{5-3}{3\times 5}+\frac{7-5}{5\times 7}+....+\frac{59-57}{57\times 59})$

$=\frac{3}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{57}-\frac{1}{59})$

$=\frac{3}{2}(1-\frac{1}{59})=\frac{87}{59}$

Sửa đề: \(\dfrac{3}{1.3}+\dfrac{3}{3.5}+...+\dfrac{3}{57.59}\)

\(=\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{2}{1.3}+\dfrac{2}{3.5}+...+\dfrac{2}{57.59}\right)\)

\(=\dfrac{3}{2}\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{57}-\dfrac{1}{59}\right)\)

\(=\dfrac{3}{2}.\left(1-\dfrac{1}{59}\right)\)

\(=\dfrac{3}{2}.\dfrac{58}{59}=\dfrac{87}{59}\)

Lời giải:

Đặt $A=\frac{1}{20.23}+\frac{1}{23.26}+\frac{1}{26.29}+...+\frac{1}{77.80}$

$3A=\frac{3}{20.23}+\frac{3}{23.26}+\frac{3}{26.29}+...+\frac{3}{77.80}$

$=\frac{23-20}{20.23}+\frac{26-23}{23.26}+\frac{29-26}{26.29}+...+\frac{80-77}{77.80}$

$=\frac{1}{20}-\frac{1}{23}+\frac{1}{23}-\frac{1}{26}+\frac{1}{26}-\frac{1}{29}+...+\frac{1}{77}-\frac{1}{80}$

$=\frac{1}{20}-\frac{1}{80}$

$A=\frac{1}{3}(\frac{1}{20}-\frac{1}{80})=\frac{1}{60}-\frac{1}{240}< \frac{1}{60}< \frac{1}{9}$

Ta có:

\(\dfrac{1}{20.23}+\dfrac{1}{23.26}+...+\dfrac{1}{77.80}\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{3}{20.23}+\dfrac{3}{23.26}+...+\dfrac{3}{77.80}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{23}+\dfrac{1}{23}-\dfrac{1}{26}+...+\dfrac{1}{77}-\dfrac{1}{80}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{80}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{80}=\dfrac{1}{80}< \dfrac{1}{9}\) (đpcm)

   A = 5 + 5² + 5³ + ... + 5¹⁰⁰

5A = 5² + 5³ + 5⁴ + ... + 5¹⁰¹

5A - A = (5² + 5³ + 5⁴ + ... + 5¹⁰¹) - (5² + 5³ + 5⁴ + ... + 5¹⁰⁰)

4A = 5² + 5³ + 5⁴ + ... + 5¹⁰¹ - 5² - 5³ - 5⁴ - ... - 5¹⁰⁰

4A = (5² - 5²) + (5³ - 5³) + (5⁴ - 5⁴) + ... + (5¹⁰⁰ - 5¹⁰⁰) + (5¹⁰¹ - 5)

4A = 0 + 0 + ... 0 + 5¹⁰¹ - 5

A = \(\dfrac{5^{101}-5}{4}\)

b; 4.A + 5 = 5ⁿ

    5¹⁰¹ - 5 + 5 = 5ⁿ

    5¹⁰¹ = 5ⁿ

    n = 101

 Vậy n = 101