a) \(A=5-8x-x^2\)

        \(=-\left(x^2+8x-5\right)\)

        \(=-\left(x^2+2.x.4+4^2-16-5\right)\)

        \(=-\left[\left(x+4\right)^2-21\right]\)

        \(=-\left(x+4\right)^2+21\le21\)

       Dấu "=" khi x + 4 = 0 => x = -4

       Vậy GTLN của A là 21 khi x = -4

b) \(B=5-x^2+2x-4y^2-4y\)

       \(=-\left(x^2-2x+4y^2+4y-5\right)\)

       \(=-\left[x^2-2x+1+\left(2y\right)^2+2.2y.1+1-7\right]\)

      \(=-\left[\left(x-1\right)^2+\left(2y+1\right)^2\right]+7\le7\)

    Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}x-1=0\\2y+1=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=\frac{-1}{2}\end{cases}}}\)

   Vậy GTLN của B là 7 khi x = 1 và y = -1/2

c) Theo đề: \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

           \(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\)

         \(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

          \(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2=0\)

         \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

          \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c}\)(ĐPCM)

d) \(a^2-2a+b^2+4b+4c^2-4c+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2+4b+4\right)+\left(\text{4c^2}-4c+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b+2\right)^2+\left(2c-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-1=0\\b+2=0\\2c-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=-2\\c=\frac{1}{2}\end{cases}}}\)

   Vậy nghiệm phương trình: a = 1; b = -2; c = 1/2

Chúc bạn học tốt ^_^

sao ko ai giúp nhỉ ;(

A B C D E M K H

a) Gọi H là giao điểm của DM và AC

Xét tam giác ADM có: AD=AM ( giả thiết)

=> Tam giác ADM cân tại A  và có AH là đường cao

=> AH là đường trung tuyến của tam giác ADM

=> H là trung điểm DM

=> tam giác CDM có CH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến 

=> Tam giác DCM cân tại D

=> CD=CM

b) Xét tam giác ADC và tam giác AMC có:

CD=CM ( chứng minh trên)

AC chung

AD=AM ( giả thiết)

=> Tam giác ADC = tam giác AMC

=> \(\widehat{ADC}=\widehat{AMC}\)

mà \(\widehat{AMC}+\widehat{CMB}=180^o\)

=> \(\widehat{ADC}+\widehat{CMB}=180^o\) (1)

Xét tứ giác ABCD có góc A+góc C=180^o

=> \(\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=180^o\)(2)

Từ (1); (2) 

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{CMB}\Rightarrow\widehat{CBM}=\widehat{CMB}\)

=> Tam giác BCM cân tại C

=> CM =CB

mà theo câu a : CD=CM

=> CB=CD

=> Tam giác DCB cân tại C có K là trung điểm BD

=> CK vuông góc BD (3)

Mặt khác xét tam giác EBD đều có K là trung điểm BD

=> EK vuông góc với BD (4)

Từ (3), (4) 

=> E, K, C thẳng hàng  

Ta có: (a²+b²)(x²+y²)=(ax+by)²

\(\Leftrightarrow\)a²x²+a²y²+b²x²+b²y²=a²x²+2abxy+b²y²

\(\Leftrightarrow\)a²y²-2abxy+b²x²=0

\(\Leftrightarrow\)(ay-bx)²=0

\(\Leftrightarrow\)ay=bx

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{x}\)=\(\frac{b}{y}\)

#)Giải :

\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)

\(\Rightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=a^2x^2+2abxy+b^2y^2\)

\(\Rightarrow a^2y^2+b^2x^2=2abxy\)

\(\Rightarrow a^2y^2+b^2x^2-2abxy=0\)

\(\Rightarrow\left(ay-bx\right)^2=0\)

\(\Rightarrow ay-bx=0\)

\(\Rightarrow ay=bx\)

\(\Rightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)(theo tính chất tỉ lệ thức) 

\(\Rightarrowđpcm\)

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau một cách nhanh nhất:

a, A=(6x-2)²+(2-5x)²+2.(6x-2)(2-5x)

\(=\left(6x-2\right)^2+2\left(6x-2\right)\left(2-5x\right)+\left(2-5x\right)^2\)

\(\text{(Hằng đẳng thức số 2)}\)

\(=\left(6x-2+2-5x\right)\)

\(=x\)

\(B=\left(2a^2+2a+1\right)\left(2a^2-2a+1\right)-\left(2a^2+1\right)^2\)

\(=\left(2a^2+1+2a\right)\left(2a^2+1-2a\right)-\left(2a^2+1\right)^2\)

\(=\left(2a^2+1\right)^2-4a^2-\left(2a^2+1\right)^2\)

\(=-4a^2\)

\(2x^2+y^2+2xy-4x+9=\left(x^2-4x+4\right)+\left(x^2+2xy+y^2\right)+5\)

\(=\left(x+y\right)^2+\left(x-4\right)^2+5\ge5\)

Suy ra dieu phai cm

\(2x^2+y^2+2xy-4x+9\)

\(=x^2+2xy+y^2+x^2-4x+4+5\)

\(=\left(x+y\right)^2+x^2-2.2.x+4+5\)

\(=\left(x+y\right)^2+\left(x-2\right)^2+5\)

\(\left(x+y\right)^2>0;\left(x-2\right)^2>0;5>0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+\left(x-2\right)^2+5>0\)

\(\Rightarrow2x^2+y^2+2xy-4x+9>0\)

easy mà !

2x + 6x^2=3x+9x^2

=> 6x^2 - 9x^2 =  3x-2x

=> -3x^2 = x

=> x = 1 hoặc x =0

Chúc bạn hok tốt !!!

Ta có:

P= (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15

=((x+1)(x+7))((x+3)(x+5))+15

=(x^2+8x+7)(x^2+8x+15)+15

Đặt t=x^2+8x+11, ta có:

P=(t-4)(t+4)+15

P=t^2-16+15

P=t^2-1=(t-1)(t+1)

Vậy: P=(x^2+8x+10)(x^2+8x+12)

          =(x^2+8x+10)(x+6)(x+2)

\(f\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(x\right)\left(x+1\right)\left(ax-a+b\right)\)

=> \(f\left(x\right)-f\left(x-1\right)=x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)\)mọi x

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(ax+b\right)-\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(ax-a+b\right)=x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)\)mọi x

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)\left[\left(x+2\right)\left(ax+b\right)-\left(x-1\right)\left(ax-a+b\right)\right]=x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)\)mọi x

\(\Leftrightarrow ax^2+2ax+bx+2b-ax^2+ax-bx+ax-a+b=2x+1\)mọi x

\(\Leftrightarrow4ax+3b-a=2x+1\)

Cân bằng hệ số :

\(\hept{\begin{cases}4a=2\\3b-a=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

a) Ta có $$\begin{aligned} f(x)-f(x-1) & =x(x+1)(x+2)(ax+b)-(x-1)x(x+1)(ax+b) \\ & = 4ax^3+3(a+b)x^2+(3b-a)x \end{aligned}$$
Và $x(x+1)(2x+1)=2x^3+3x^2+x$
Vậy $$4ax^3+3(a+b)x^2+(3b-a)x = 2x^3+3x^2+x \iff \begin{cases} 4a=2 \\ 3(a+b)=3 \\ 3b-a=1 \end{cases} \implies a=b= \dfrac{1}{2}$$

b) Ta có
$$\begin{array}{l}1.2.3= f(1)-f(0) \\ 2.3.5=f(2)-f(1) \\ 3.4.7= f(3)-f(2) \\ ... \\ n(n+1)(2n+1)=f(n)-f(n-1) \end{array}$$
$$\implies S=1.2.3+2.3.5+.....+n(n+1)(2n+1)= f(n-1)-f(0)= \boxed{\dfrac{(n-1)n(n+1)^2}{2}}$$

\(\left(a+b+c+d\right)^2=\left(\left(a+b\right)+\left(c+d\right)\right)^2\)

\(=\left(a+b\right)^2+2\left(a+b\right)\left(c+d\right)+\left(c+d\right)^2\)

\(=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2cd+2ac+2ad+2bc+2bd\)

Câu dưới em làm tương tự

B)(A+B-C-D)²= (A+B)² -2 (A+B).(C-D) +(C-D)²

= A² +B² +C² +D² + 2AB-2CD- 2AC +2AD - 2BC +2BD

cÁC BẠN NHỚ K ĐÚNG CHO MÌNH RỒI MÌNH K LẠI CHO.nHỚ MỖI BẠN 3K

Bài 1:

a) \(M=x^2+x+1\)

\(=x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1\)

\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

Vì \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0;\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge0+\frac{3}{4};\forall x\)

Hay \(M\ge\frac{3}{4};\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}=0\)

                         \(\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)

Vậy \(MIN\)\(M=\frac{3}{4}\)\(\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)

b) \(N=3-2x-x^2\)

\(=-x^2-2x+3\)

\(=-\left(x^2+2x+1\right)+4\)

\(=-\left(x+1\right)^2+4\)

Vì \(-\left(x+1\right)^2\le0;\forall x\)

\(\Rightarrow-\left(x+1\right)^2+4\le0+4;\forall x\)

Hay \(N\le4;\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x+1=0\)

                        \(\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy MAX \(N=4\)\(\Leftrightarrow x=-1\)

Bài 2:

Vì a chia 3 dư 1 nên a có dạng \(3k+1\left(k\in N\right)\)

Vì b chia 3 dư 2 nên b có dạng \(3t+2\left(t\in N\right)\)

Ta có: \(ab=\left(3k+1\right)\left(3t+2\right)\)

\(=\left(3k+1\right).3t+\left(3k+1\right).2\)

\(=9kt+3t+6k+2\)

\(=3.\left(3kt+t+2k\right)+2\)chia 3 dư 2 .

\(\)

1a) Ta có: M = x² + x + 1 = (x² + x + 1/4)  + 3/4 = (x + 1/2)²  + 3/4

Ta luôn có: (x + 1/2)² \(\ge\)0 \(\forall\)x

=> (x + 1/2)² + 3/4 \(\ge\)3/4 \(\forall\)x

Dấu "=" xảy ra khi : x + 1/2 = 0 <=> x = -1/2

Vậy M_min = 3/4 tại x = -1/2

b) Ta có: N = 3 - 2x - x² = -(x² + 2x + 1) + 4 = -(x + 1)² + 4

Ta luôn có: -(x + 1)² \(\le\)0 \(\forall\)x

=> -(x + 1)² + 4 \(\le\)4 \(\forall\)x

Dấu "=" xảy ra khi : x + 1 = 0 <=> x = -1

Vậy N_max = 4 tại x = -1