PT (1) \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+y-2\right)=0\)

Rút: \(c=-\left(a+b\right)\) ta cần chứng minh:

\(a^2+b^2+\left(a+b\right)^2< 2\) với \(-1< a\le b\le-\left(a+b\right)< 1\)

Từ \(-1< a\le b\le-\left(a+b\right)< 1\Rightarrow-1< a+b< 1\)

Xét hiệu: \(\left(a+b\right)^2-1=\left(a+b-1\right)\left(a+b+1\right)< 0\).Vậy \(\left(a+b\right)^2< 1\)

Ta có: \(VT=a^2+b^2+\left(a+b\right)^2=2\left(a+b\right)^2-2ab< 2\left(a+b\right)^2< 2.1=2\)

Ta có đpcm.

_{Is that true?}

\(30\left(x+2\right)-6\left(x+5\right)-24x=100\)

\(30x+60-6x-30-24x=100\)

\(0x+30=100\)

\(0x=70\)

\(\Rightarrow x\in\varnothing\)

30(x + 2 ) - 6(x+5) - 24x = 100

30.x+30.2-6.x-(-5.6) -24x = 100

30 x + 60-6.x + 30 - 24x = 100

( 30x - 6x - 24x ) + 60 + 30 = 100

x( 30-6-24 ) + 90 = 100

x.0 = 100-90

x.0 = 10 ( vô lý )

Vậy x = \(\varnothing\)

\(Q=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy+2016=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}+4xy+\frac{5}{4xy}+2016\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\). Dấu "=" khi a=b (bạn tự chứng minh)

\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\)

Vì x>0, y>0 nên xy>0

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương

\(\frac{1}{4xy}+4xy\ge2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}=2\)

Ta có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{5}{4xy}\ge5\)

Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=2xy\\\frac{1}{4xy}=4xy\\x=y\end{cases}\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}}\)

\(\Rightarrow Q\ge4+2+5+2016=2027\)

Vậy \(minQ=2027\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)