\(A=\left(\frac{1}{2^2}-1\right)\left(\frac{1}{3^2}-1\right)...\left(\frac{1}{1000^2}-1\right)=\left(-\frac{1.3}{2^2}\right).\left(-\frac{2.4}{3^2}\right)\left(-\frac{3.5}{4^2}\right)..\left(-\frac{999.1001}{1000^2}\right)\)

thực hiện giản ước ta có

\(A=\left(-1\right)^{999}.\left(\frac{1001}{2.1000}\right)=-\frac{1001}{2000}< -\frac{1000}{2000}=-\frac{1}{2}\)

Theo bài ta có: \(\frac{\widehat{A}}{2}=\frac{\widehat{B}}{3}=\frac{\widehat{C}}{4}\)

mà \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)( tổng 3 góc trong tam giác )

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

\(\frac{\widehat{A}}{2}=\frac{\widehat{B}}{3}=\frac{\widehat{C}}{4}=\frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}}{2+3+4}=\frac{180^o}{9}=20^o\)

\(\Rightarrow\widehat{A}=2.20^o=40^o\); \(\widehat{B}=3.20^o=60^o\); \(\widehat{C}=4.20^o=80^o\)

Vậy \(\widehat{A}=40^o\); \(\widehat{B}=60^o\); \(\widehat{C}=80^o\)

Gọi số đo của ba góc A,B,C là a,b,c ( 0 < a,b,c < 180^o )

Vì số đo của các góc A,B,C tỉ lệ với 2,3,4

\(\Rightarrow\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}\)

mà a + b + c = 180 ( tổng 3 góc trong tam giác )

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}\)\(=\frac{a+b+c}{2+3+4}\)\(=\frac{180}{9}=20\)

Suy ra : \(a=20\times2=40\)

Vậy \(\widehat{A}=40^o\)

\(2^x+2-2^x=96\Leftrightarrow2\ne96\)

Vậy PT vô nghiệm =)) ko có x thỏa mãn đề bài 

2^x+2 - 2^x = 96

<=> 2^x.2² - 2^x = 96

<=> 2^x( 2² - 1 ) = 96

<=> 2^x.3 = 96

<=> 2^x = 32 = 2⁵

<=> x = 5

Từ \(\frac{2019a+2020c}{2019a-2021c}=\frac{2019b+2020d}{2019b-2021d}\)

<=> \(\frac{2019a-2021c+4041c}{2019a-2021c}=\frac{2019b-2021d+4041d}{2019b-2021d}\)

<=> \(1+\frac{4041c}{2019a-2021c}=1+\frac{4041d}{2019b-2021d}\)

<=> \(\frac{4041c}{2019a-2021c}=\frac{4041d}{2019b-2021d}\)

<=> 4041c( 2019b - 2021d ) = 4041d( 2019a - 2021c )

<=> c( 2019b - 2021d ) = d( 2019a - 2021c )

<=> 2019bc - 2021dc = 2019ad - 2021cd

<=> 2019bc - 2021dc - 2019ad + 2021cd = 0

<=> 2019( bc - ad ) = 0

<=> bc - ad = 0

<=> bc = ad

<=> a/b = c/d

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=kb\\c=kd\end{cases}}\)

Ta có : \(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^{2020}=\left(\frac{kb+b}{kd+d}\right)^{2020}=\left[\frac{b\left(k+1\right)}{d\left(k+1\right)}\right]^{2020}=\left(\frac{b}{d}\right)^{2020}=\frac{b^{2020}}{d^{2020}}\)(1)

\(\)\(\frac{a^{2020}+b^{2020}}{c^{2020}+d^{2020}}=\frac{\left(kb\right)^{2020}+b^{2020}}{\left(kd\right)^{2020}+d^{2020}}=\frac{k^{2020}b^{2020}+b^{2020}}{k^{2020}d^{2020}+d^{2020}}=\frac{b^{2020}\left(k^{2020}+1\right)}{d^{2020}\left(k^{2020}+1\right)}=\frac{b^{2020}}{d^{2020}}\)(2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm

\(3x\left(x-1\right)=x^2\Leftrightarrow3x^2-3x-x^2=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2-3x=0\Leftrightarrow x\left(2x-3\right)=0\Leftrightarrow x=0;\frac{3}{2}\)

ta có \(3^m=3^n\left(3^m-2\right)\Rightarrow\left(3^m-2\right)\)là ước của \(3^m\)

do \(3^m-2\)không chia hết cho 3 với mọi m, do đó \(3^m-2=1\Leftrightarrow m=1\) thay vào ta tìm được n=1