\(A=\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right).\left(\sqrt{x}-1\right)+5.\left(\sqrt{x}+1\right)+4}{\left(\sqrt{x}-1\right).\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(A=\dfrac{x-\sqrt{x}+3\sqrt{x}-3+5\sqrt{x}+5+4}{\left(\sqrt{x}-1\right).\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(A=\dfrac{x+7\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}-1\right).\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(A=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right).\left(\sqrt{x}-6\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right).\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(A=\dfrac{\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}+1}\)

Gọi P là giao của OC với AM; Q là giao của OD với BM

\(\widehat{AMB}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) (1)

\(OC\perp AM;OD\perp BM\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc và chia đôi dây cung nối 2 tiếp điểm)

\(\Rightarrow\widehat{OPM}=\widehat{OQM}=90^o\) (2)

Xét tứ giác OPMQ từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\widehat{COD}=90^o\) (tổng các góc trong của 1 tứ giác bằng \(360^o\) )

=> tg COD là tg giác nội tiếp đường tròn đường kính CD, tâm I là trung điểm của CD

Ta có

\(AC\perp AB;BD\perp AB\) => AC//BD => ABDC là hình thang

IC=ID; OA=OB => IO là đường trung bình của hình thang ABDC

=> IO // AC; mà \(AC\perp AB\Rightarrow IO\perp AB\)

Ta có IO là bán kính đường tròn đường kính CD

=> AB là tiếp tuyến của (I) => AB tiếp xúc với đường tròn (I)

Trung bình mỗi năm, giả sử dân số của thành phố đó tăng \(x\%\) \(\left(0< x< 100\right)\)

Sau năm thứ nhất, dân số ở thành phố đó sẽ là \(4000000+4000000.x\%\)

Sau năm thứ hai, dân số ở thành phố đó sẽ là \(\left(4000000+4000000.x\%\right)+\left(4000000+4000000.x\%\right).x\%\)\(=4000000+8000000.\dfrac{x}{100}+4000000.\dfrac{x}{100}.\dfrac{x}{100}\)\(=400x^2+80000x+4000000\)

Vì sau 2 năm, dân số của thành phố đó tăng thành 4 056 196 người nên ta có pt \(400x^2+80000x+4000000=4056196\)\(\Leftrightarrow400x^2+80000x-56196=0\)\(\Leftrightarrow100x^2+20000x-14049=0\) (*)

pt (*) có \(\Delta'=10000^2-100\left(-14049\right)=101404900>0\)

\(\Rightarrow\) pt (*) có 2 npb \(\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-10000+\sqrt{101404900}}{100}=0,7\left(nhận\right)\\x_2=\dfrac{-10000-\sqrt{101404900}}{100}=-200,7\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy trung bình 1 năm dân số của thành phố tăng \(0,7\%\)

Xét tg vuông ABH và tg vuông ACH có

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\) )

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BH}{AH}\Rightarrow\dfrac{BH}{30}=\dfrac{5}{6}\Rightarrow BH=25\)

Ta có

\(AH^2=BH.CH\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow CH=\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{30^2}{25}=36\)

=> x=25; y=36

Ta có : \(xyz=1\rightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=\dfrac{1}{z}\\xz=\dfrac{1}{y}\\yz=\dfrac{1}{x}\end{matrix}\right.\)

Do đó : \(A=\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\)

\(A=1+x+y+z+xy+yz+xz+xyz\)

\(A=1+x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+1\)

\(A=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)+\left(z+\dfrac{1}{z}\right)+2\)

Áp dụng BĐT \(a+b\ge2\sqrt{ab}\left(a,b>0\right)\) 

Dấu \(=\) xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

với \(x,y,z>0\) Ta được :

\(A\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}+2\sqrt{y.\dfrac{1}{y}}+2\sqrt{z.\dfrac{1}{z}}+2=2+2+2+2=8\)

Dấu \(=\) xảy ra \(\Leftrightarrow\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{x}\\y=\dfrac{1}{y}\\z=\dfrac{1}{z}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\y^2=1\\z^2=1\end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=z=1\) ( vì \(x,y,z>0\) )