Xét \(\Delta\) HBA và \(\Delta\) ABC có \(\widehat{H}\)  =  \(\widehat{A}\) = 90⁰; \(\widehat{B}\) chung

⇒  \(\Delta\) HBA  \(\sim\)  \(\Delta\) ABC (g-g)

Tương tự ta có:   \(\Delta\) HAC  \(\sim\)  \(\Delta\) ABC (g-g-g)

    ⇒ \(\Delta\) HBA  \(\sim\)   \(\Delta\) HAC ( t/c hai tam giác đồng dạng)

   ⇒ \(\dfrac{HB}{HA}\) = \(\dfrac{HA}{HC}\) = \(\dfrac{BA}{AC}\)( theo khái niệm của tam giác đồng dạng.)

Mặt khác: KI là đường trung bình của tam giác ABH nên:

        \(\dfrac{HI}{HA}\) = \(\dfrac{HK}{HB}\) ⇒  \(\dfrac{HK}{HI}\) =   \(\dfrac{HB}{HA}\)

⇒ \(\dfrac{HK}{HI}\) = \(\dfrac{HA}{HC}\) mà \(\widehat{AHK}\) = \(\widehat{CHI}\)  = 90⁰

⇒ \(\Delta\)  AHK \(\sim\) \(\Delta\) CHI ( c-g-c)

b, Kéo dài CI cắt AK tại D ta có:

vì  \(\Delta\)  AHK \(\sim\) \(\Delta\) CHI ⇒ \(\widehat{HAK}\) = \(\widehat{HCI}\)

Xét \(\Delta\) HAK và \(\Delta\) DCK có: \(\widehat{A}\) = \(\widehat{C}\) ( cmt)

                                           \(\widehat{K}\) chung

   ⇒ \(\Delta\) HAK \(\sim\) \(\Delta\) DCK ( g-g)

  ⇒ \(\widehat{H}\) = \(\widehat{D}\)= 90⁰ ⇒ AK \(\perp\) CI tại D ( đpcm)

Đề thiếu dữ kiện để tính gtnn. Bạn coi lại.

Gọi số bé là : x . ĐK : x thuộc tập hợp số thực

Suy ra : số lớn là : x+12

Do đó :

Chia số bé cho 7 ta được thương là : \(\dfrac{x}{7}\)

Chia số lớn cho 5 ta được thương là : \(\dfrac{x+12}{5}\)

Do khi chia số lớn cho 5 , số bé cho 7 ta được thương lớn hơn thương bé là 4 đơn vị . Nên ta có phương trình :

                  \(\dfrac{x+12}{5}-\dfrac{x}{7}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{7x+84}{35}-\dfrac{5x}{35}=\dfrac{140}{35}\)

\(\Rightarrow7x+84-5x=140\)

\(\Leftrightarrow2x=56\)

\(\Leftrightarrow x=28\left(TM\right)\)

Do đó : số lớn là : \(28+12=40\)

\(Vậy...\)

Trước tiên ta cần giải quyết vế dài dòng nhất đã là vế A :

Ta có :

\(A=\dfrac{1}{5.8}+\dfrac{1}{8.11}+\dfrac{1}{11.14}+...+\dfrac{1}{\left(3n+2\right)\left(3n+5\right)}\)

\(A=\dfrac{1}{3}.\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{14}+...+\dfrac{1}{3n+2}-\dfrac{1}{3n+5}\right)\)

Rút gọn đi ta được :

\(A=\dfrac{1}{3}.\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3n+5}\right)\)

\(A=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3n+5-5}{5\left(3n+5\right)}\)

\(A=\dfrac{n}{5\left(3n+5\right)}\)

Bây giờ ta chỉ còn so sánh A với \(\dfrac{1}{5}\) là xong :

Ta có : \(\dfrac{1}{15}=\dfrac{3n+5}{15\left(3n+5\right)}\)

\(\dfrac{n}{5\left(3n+5\right)}=\dfrac{3n}{15\left(3n+5\right)}\)

Do \(n\in N\) nên : \(\dfrac{3n}{15\left(3n+5\right)}< \dfrac{3n+5}{15\left(3n+5\right)}\)

\(\Rightarrow\dfrac{n}{5\left(3n+5\right)}< \dfrac{1}{15}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

i dont know