Cho các số phức: z, w, u thay đổi thỏa mãn: \(\left|z\right|=\left|w\right|=5\) và: \(\left|z-w\right|^2=8\left|2u-z+w\right|\). Biết:  \(\left(z-4i\right)\left(\overline{w}-4i\right)\) và: \(\left(2u+z-w-8i\right)\overline{\left(z-w-2u\right)}\) là các số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của: \(P=\left|u-2+i\right|+\left|2u-1+3i\right|\) bằng:

A. \(3+\sqrt{2}\)             B. \(\sqrt{34}\)             C. \(\sqrt{26}\)             D. \(3\sqrt{2}+1\)

 Một tên trộm bị truy nã đang ẩn náu tại một căn phòng trong một dãy trọ gồm 5 phòng xếp thành hàng ngang. Vì để tránh bị bắt, hắn đã làm như sau: Vào mỗi đêm, hắn sẽ chuyển sang sống ở một căn phòng liền kề với phòng hắn đang ở. Về phía cảnh sát, cứ mỗi buổi sáng, họ sẽ kiểm tra chỉ một phòng bất kì trong số 5 phòng đó, và điều này lặp lại cho đến khi tìm thấy được tên trộm (dĩ nhiên, trong quá trình cảnh sát đi tìm tên trộm thì hắn không thể chạy thoát ra khỏi dãy trọ vì đó là nơi hẻo lánh, trống trải, thoát ra ngoài sẽ bị phát hiện ra ngay). Biết rằng nếu sau 1 tuần mà cảnh sát không tìm thấy tên trộm thì theo lệnh sẽ không được tìm hắn ở dãy trọ đó nữa và tất nhiên điều này có nghĩa là tên trộm sẽ thoát được. Hiện tại phía cảnh sát đang rất bối rối vì chưa tìm ra được chiến thuật hợp lí. Các em hãy thử tài làm "quân sư", tìm ra được cách để tìm ra tên trộm nguy hiểm này trong thời hạn nhé.

 Chỉ ra lỗi sai trong phép "chứng minh" \(3=0\) sau:

 Xét phương trình \(x^2+x+1=0\)     (1)

 Ta thấy \(x=0\) không phải là nghiệm của phương trình. Xét \(x\ne0\). Khi đó chia cả 2 vế của (1) cho \(x\). ta được:

 (1) \(\Leftrightarrow x+1+\dfrac{1}{x}=0\)

 \(\Leftrightarrow x+1=-\dfrac{1}{x}\)      (2)

 Thay (2) vào (1), ta được: (1) \(\Leftrightarrow\) \(x^2-\dfrac{1}{x}=0\)

 \(\Leftrightarrow x^2=\dfrac{1}{x}\)

 \(\Leftrightarrow x^3=1\)

 \(\Leftrightarrow x=1\)

 Vậy \(x=1\) là nghiệm của phương trình (1). Do đó:

 \(1^2+1+1=0\) \(\Leftrightarrow3=0\)

 Ta có đpcm.

Giải các hệ phương trình sau:

1) \(\left\{{}\begin{matrix}x^4-6x^2y^2+y^4=\sqrt{3}\\x^3y-y^3x=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

2) \(\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{3x-y}{x^2+y^2}=3\\y-\dfrac{x+3y}{x^2+y^2}=0\end{matrix}\right.\)

3)\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3x}\left(1+\dfrac{1}{x+y}\right)=2\\\sqrt{7y}\left(1-\dfrac{1}{x+y}\right)=4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Một đội Toán gồm có học sinh lớp ba, lớp bốn và lớp năm. Trong đó, cứ 5 học sinh lớp ba thì có 2 học sinh lớp bốn; cứ 3 học sinh lớp bốn thì có 5 học sinh lớp năm. Biết rằng tổng cộng có 62 học sinh trong đội, hỏi trong đội có bao nhiêu học sinh lớp ba? học sinh lớp bốn? học sinh lớp năm?