Lời giải:

$3\text{VT}=\frac{3a}{3a+1}+\frac{3b}{3b+1}+\frac{3c}{3c+1}$

$=1-\frac{1}{3a+1}+1-\frac{1}{3b+1}+1-\frac{1}{3c+1}$

$=3-\left[\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}\right]$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}\geq \frac{9}{3a+1+3b+1+3c+1}=\frac{9}{3(a+b+c)+3}=\frac{9}{3.6+3}=\frac{3}{7}$

$\Rightarrow 3\text{VT}\leq 3-\frac{3}{7}=\frac{18}{7}$

$\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{6}{7}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}\) \(\Rightarrow\dfrac{2x}{4}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{2x}{4}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}=\dfrac{2x+y-z}{4+3-4}=\dfrac{6}{3}=2\)

\(\dfrac{x}{2}=2\Rightarrow x=2.2=4\)

\(\dfrac{y}{3}=2\Rightarrow y=2.3=6\)

\(\dfrac{z}{4}=2\Rightarrow z=2.4=8\)

Vậy \(x=4;y=6;z=8\)

Đề thiếu, em bổ sung đề lại

hình như đề thiếu bạn ạ

mong bạn bổ sung lại đề

A = \(\dfrac{1+2+2^2+...+2^{2004}}{1+2^5+2^{10}+...+2^{2000}}\)

Đặt B =  1 + 2 + 2² + ... + 2²⁰⁰⁴

      2B = 2 + 2² + 2³ + ...+ 2²⁰⁰⁵

      2B - B = (2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰⁰⁵) - (1 + 2 + 2² + .. + 2²⁰⁰⁴)

       B = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰⁰⁵ - 1 - 2  - 2² - ... - 2²⁰⁰⁴

      B = (2 - 2) + (2² - 2²) + (2³ - 2³) + ... (2²⁰⁰⁴ - 2²⁰⁰⁴) + (2²⁰⁰⁵ - 1)

      B = 2²⁰⁰⁵ - 1

Đặt  C =  1  + 2⁵ + 2¹⁰ + ...   + 2²⁰⁰⁰

     2⁵C = 2⁵ + 2¹⁰ + 2¹⁵ + ... + 2²⁰⁰⁵

     32C - C = (2⁵ + 2¹⁰ + 2¹⁵ + ... + 2²⁰⁰⁵) - (1 + 2⁵ + 2¹⁰ +... +2²⁰⁰⁰)

     31C      =  2⁵ + 2¹⁰ + 2¹⁵ + ... + 2²⁰⁰⁵ - 1 - 2⁵ - 2¹⁰ - ... - 2²⁰⁰⁰

     31C      =(2⁵ - 2⁵) + (2¹⁰ - 2¹⁰) +...+ (2²⁰⁰⁰ - 2²⁰⁰⁰) + (2²⁰⁰⁵ - 1)

     31C     = 2²⁰⁰⁵ - 1

         C = \(\dfrac{2^{2005}-1}{31}\)

A = \(\dfrac{B}{C}\) = \(\dfrac{2^{2005}-1}{\dfrac{2^{2005}-1}{31}}\)

A = ( \(2^{2005}-1\)) x \(\dfrac{31}{2^{2005}-1}\)

A = 31

Ta có \(\widehat{CDE}\) = \(\widehat{DCB}\) = 70⁰ (hai góc so le trong)

         \(\widehat{DCY}\) + \(\widehat{BCD}\) = 180⁰ (hai góc kề bù)

       ⇒ \(\widehat{BCD}\) = 180⁰ - 70⁰ = 110⁰

         \(\widehat{DCE}\) = \(\dfrac{1}{2}\) \(\widehat{DCy}\) (CE là phân giác góc\(\widehat{DCy}\))

          \(\widehat{DCE}\) = 110⁰ x \(\dfrac{1}{2}\) = 55⁰

         \(\widehat{DEC}\) + \(\widehat{EDC}\) + \(\widehat{DCE}\) = 180⁰

         \(\widehat{DEC}\) = 180⁰ - 55⁰ - 70⁰

         \(\widehat{DEC}\) =  55⁰

         ⇒ \(\widehat{DEC}\) = \(\widehat{DCE}\) = 55⁰ 

          ⇒ \(\Delta\) DCE cân tại D ⇒DC = DE 

`#3107.101107`

\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^x+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x+2}=\dfrac{104}{243}?\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{2}{3}\right)^x+\left(\dfrac{2}{3}\right)^x\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{104}{243}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{2}{3}\right)^x\cdot\left(1+\dfrac{2^2}{3^2}\right)=\dfrac{104}{243}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{2}{3}\right)^x\cdot\left(1+\dfrac{4}{9}\right)=\dfrac{104}{243}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{2}{3}\right)^x\cdot\dfrac{13}{9}=\dfrac{104}{243}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=\dfrac{104}{243}\div\dfrac{13}{9}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=\dfrac{8}{27}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=\dfrac{2^3}{3^3}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\)

\(\Rightarrow x=3\)

Vậy, `x = 3.`

a) Xét tam giác AMC và tam giác EMB có:

\(BM=MC\)(do M là trung điểm của BC)

\(\widehat{AMC}=\widehat{EMB}\) (2 góc đối đỉnh)

\(AM=ME\left(gt\right)\)

Nên tam giác AMC = tam giác EMB (c.g.c)(đpcm)

b) CMTT ý a ta có tam giác AMB = tam giác EMC (c.g.c)

=> \(\widehat{ABM}=\widehat{ECM}\)(2 góc tương ứng)

mà hai góc ở vị trí so le trong của AB và CE

=> AB//CE(đpcm)

c) Xét tam giác AIM và tam giác EKM có:

\(AM=EM\left(gt\right)\)

\(\widehat{MAI}=\widehat{MEK}\)(do tam giác AMC = tam giác EMB)

\(AI=EK\left(gt\right)\)

Nên tam giác AIM = tam giác EKM (c.g.c)

=> \(\widehat{AMI}=\widehat{EMK}\)

Ta có \(\widehat{AMI}+\widehat{IME}=180^o\)(hai góc kề bù)

Mà \(\widehat{AMI}=\widehat{EMK}\left(cmt\right)\)

=> \(\widehat{IME}+\widehat{EMK}=180^o\)

=> \(\widehat{IMK}=180^o\)

=> Ba điểm IMK thẳng hàng (đpcm)

ta có 2022²⁰=(2022²)¹⁰=4088484¹⁰

Vì 4088484 < 20222022 nên 4088484¹⁰<20222022¹⁰

Vậy 2022²⁰<20222022¹⁰

Rất dễ nhận thấy là 20222022 lớn hơn 2022 rất nhiều lần

\(\Rightarrow\)\(2022^{20}< 20222022^{10}\)