áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{z}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(x-1\right)^2}{z}\frac{z}{4}}=|x-1|=1-x.\)

\(\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{x}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(y-1\right)^2}{x}\frac{x}{4}}=|y-1|=1-y.\)

\(\frac{\left(z-1\right)^2}{y}+\frac{y}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\frac{y}{4}}=|z-1|=1-z.\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{z}{4}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{x}{4}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}+\frac{y}{4}\ge1-x+1-y+1-z.\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\ge3-\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{4}=3-2-\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.\)

Vậy GTNN của \(A=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}.\)

1. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=xyz và x,y,z>1

Tìm GTNN của P= x-1/y² +y-1/x² + x-1/x²

               ^Giải

Từ gt⇒1xy+1yz+1zx=1⇒1xy+1yz+1zx=1

Theo AM-GM ta có:

P=∑(x−1)+(y−1)y2−∑1y+∑1y2=∑(x−1)(1x2+1y2)−∑1y+∑1y2≥∑(x−1).2xy−∑1y+∑1y2=∑1y+∑1y2−2≥√3∑1xy+∑1xy−2=√3−1P=∑(x−1)+(y−1)y2−∑1y+∑1y2=∑(x−1)(1x2+1y2)−∑1y+∑1y2≥∑(x−1).2xy−∑1y+∑1y2=∑1y+∑1y2−2≥3∑1xy+∑1xy−2=3−1

Dấu = xảy ra⇔x=y=z=1√3

P/S: ĐỀ BÀI TƯƠNG TỰ NÊN BẠN TỰ LÀM NHA !! CHÚC HOK TỐT!

a,
x=1; y=1

b,

x=1; y=-1

a) \(\hept{\begin{cases}x+3y=4\left(1\right)\\2x+5y=7\left(2\right)\end{cases}}\)

Nhân cả hai vế ở phương trình (1) với 2 ta được \(2x+6y=8\)(3)

Lấy (3) - (2) ta được \(y=1\)

Từ đó suy ra x = 4 - 3 . 1 = 4 - 3 = 1

Vậy x = y = 1

Năm đầu tiền lãi chị Lan phải trả cho ngân hàng là: 200. 0,1=20 triệu đồng

Năm thứ 2 tiền lãi chị Lan phải tra cho ngân hàng là: (200+20).0,1=22 ( triệu đồng)

Sau 2 năm chị Lan phải hoàn trả cho ngân hàng toàn bộ gốc và lãi là: 200+20+22=242 ( triệu đồng)=242 000 000 ( đồng)

Trung bình tiền lãi của một sản phẩm là: 160 000-120 000=40 000 ( đồng)

Sau hai năm chị Lan bán đc số sản phẩm là: 

242 000 000 :40 000=6050 ( sản phẩm)

Số học sinh khá chiếm số phần là : \(\frac{1}{3}:\frac{3}{4}=\frac{4}{9}\)( số học sinh cả lớp )

10 em học sinh trung bình ứng với : \(1-\frac{1}{3}-\frac{4}{9}=\frac{2}{9}\)( số học sinh cả lớp )

Số hsg là : \(10.\left(\frac{1}{3}:\frac{2}{9}\right)=15\left(hs\right)\); Số hsk : \(10.\left(\frac{4}{9}:\frac{2}{9}\right)=20\left(hs\right)\)

Số học sinh cả lớp 9A là : \(10:\frac{2}{9}=45\left(hs\right).\)

Số học sinh khá chiếm

          1/3 x 3/4 = 1/4 

Số học sinh trung bình chiêm

         1 - 1/3 - 1/4 = 5/12

=>So hs ca lop la 

          10/5x12=24 (hs)

R banj tu tinh tiep nha\(\)

Chị quản lí ơi để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)!

Quá dễ . số cần tìm là 10 . Đúng đấy , bài này mk làm rồi , chắc chắn 100% luôn !!!

Em nghĩ nếu làm như Lê Hồ Trọng Tín thì dấu "=" không xảy ra -> sai nên em xin chia sẻ cách làm của mình.Mong được mọi người góp ý.

Theo BĐT AM-GM

\(\sqrt{2019x\left(y+2\right)}=\sqrt{673}.\sqrt{3.x\left(y+2\right)}\)

\(\le\frac{\sqrt{673}}{2}\left[3+x\left(y+2\right)\right]=\frac{\sqrt{673}}{2}\left(3+xy+2x\right)\)

Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế ta được:

\(M\le\frac{\sqrt{673}}{2}\left[9+\left(xy+yz+zx\right)+2\left(x+y+z\right)\right]\)

\(\le\frac{\sqrt{673}}{2}\left[9+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+6\right]\le\frac{\sqrt{673}}{2}\left(9+3+6\right)=6=9\sqrt{673}\)

Dấu "=" xảy ra khi x =y = z  =1

Vậy...

Theo BĐT AM-GM:

\(\sqrt{2019x\left(y+2\right)}\)\(\le\)\(\frac{1}{2}\)(2019x+y+2)

\(\sqrt{2019y\left(z+2\right)}\)\(\le\)\(\frac{1}{2}\)(2019y+z+2)​​

​\(\sqrt{2019z\left(x+2\right)}\)​​\(\le\)\(\frac{1}{2}\)(2019z+x+2)

=>M​\(\le\)\(\frac{1}{2}\)[2019(x+y+z)+(x+y+z)+6]\(\le\)3033

Vậy MaxM=3033 <=>\(\hept{\begin{cases}2019x=y+2\\2019y=z+2\\2019z=x+2\end{cases}}\)

​​

Em không chắc đâu ạ. Nhận thấy x = 2 là nghiệm của phương trình,ta biến đổi như sau:

ĐKXĐ: \(1\le x\le3\)

\(PT\Leftrightarrow x^2-4x+6+\left(x-1-\sqrt{x-1}\right)+\left(x-1-\sqrt{3-x}\right)-2x+2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+8+\frac{\left(x-1\right)^2-\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)+\sqrt{x-1}}+\frac{\left(x-1\right)^2-\left(3-x\right)}{\left(x-1\right)+\sqrt{3-x}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x-2\right)+\frac{x^2-3x+2}{\left(x-1\right)+\sqrt{x-1}}+\frac{x^2-x-2}{\left(x-1\right)+\sqrt{3-x}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x-2\right)+\frac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)+\sqrt{x-1}}+\frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)+\sqrt{3-x}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-4+\frac{x-1}{\left(x-1\right)+\sqrt{x-1}}+\frac{x+1}{\left(x-1\right)+\sqrt{3-x}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\)(chỗ này em không biết giải rõ ra thế nào nữa,chỉ biết x = 2 là nghiệm của cả hai cái ngoặc.Nhờ các anh chị chỉ rõ ra bước này giúp em ạ.Em cảm ơn)

ĐKXĐ \(1\le x\le3\)

áp dụng Cauchy ngược dấu 

\(\sqrt{\left(x-1\right).1}\le\frac{x-1+1}{2}=\frac{x}{2}\)

\(\sqrt{\left(3-x\right).1}\le\frac{3-x+1}{2}=\frac{-x}{2}+2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\le\frac{x}{2}+\frac{-x}{2}+2=2\)

Theo giả thiết \(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=x^2-4x+6\)

\(\Rightarrow x^2-4x+6\le2\Leftrightarrow x^2-4x+4\le0\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2\le0\)

Mà \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x-2\right)^2=0\Leftrightarrow x=2\left(TMĐK\right)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=2

e ko bt giai 

\(\sqrt{x^2+x}=6\Rightarrow x^2+x=6\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=6\)

\(\Rightarrow x;x+1\inƯ\left(6\right).\)