Ta có: \(\frac{ab+c}{c+1}=\frac{ab+1-a-b}{c+a+b+c}=\frac{-b\left(1-a\right)+\left(1-a\right)}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\)

\(=\frac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}=\frac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{b+c}\right)=\frac{a+b+2c}{4}\)

Tương tự: \(\frac{bc+a}{a+1}=\frac{b+c+2a}{4}\)

\(\frac{ca+b}{b+1}=\frac{c+a+2b}{4}\)

Cộng vế theo vế ta có: 

\(\frac{ab+c}{c+1}+\frac{bc+a}{a+1}+\frac{ca+b}{b+1}\le\frac{4a+4b+4c}{4}=a+b+c=1\)

Thiếu: 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\frac{1}{a+b}=\frac{1}{a+c};\frac{1}{a+c}=\frac{1}{b+c};\frac{1}{b+c}=\frac{1}{b+a};a+b+c=1\)

<=> a=b=c=1/3

#) Giải

Giả sử tồn tại x, y, z thỏa mãn đk đầu bài => 1 / x + 1 / y = 1 / z (x, y, z ≠ 0) 
=> z(x + y) = xy 
Không thể có |z| > 1 vì lúc đó z có ít nhất 1 ước nguyên tố p ≥ 2 => p phải là ước của x hoặc y, vô lý vì (x, z) = (y, z) = 1. Vậy z = -1, 1 
Với z = -1 => -(x + y) = xy => (x + 1)(y + 1) = 1 => x + 1 = -1, y + 1 = -1 
=> x = y = -2 => x, y có chung ước 2, vô lý vì (x, y) = 1 
Với z = 1 => x + y = xy => (x - 1)(y - 1) = 1 
=> x - 1 = 1 và y - 1 = 1 => x = y = 2, vô lý vì (x, y) = 1 
Vậy không tồn tại x, y, z thỏa đk bài toán 

~ Hok tốt ~

kham khảo ở đây nha

Giải toán trên mạng - Giúp tôi giải toán - Hỏi đáp, thảo luận về toán học - Học toán với OnlineMath

vào thống kê hỏi đáp của mình nhấn zô chữ xanh trong câu trả lời này 

hc tốt ~:B~

\(a,\frac{a-4\sqrt{a}+4-1}{\sqrt{a}-3}=\frac{\left(\sqrt{a}-2\right)^2-1}{\sqrt{a}-3}.\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}-3\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-3}\)

\(=\sqrt{a}-1\)

\(b,\frac{a+\sqrt{a^2-6a+9}}{2a-3}=\frac{a+\sqrt{\left(a-3\right)^2}}{2a-3}\)

\(=\frac{a+a-3}{2a-3}=\frac{2a-3}{2a-3}\)

\(=1\)

Với n là số tự nhiên

Ta có: \(5^{2n^2-6n+2}-12=25^{n^2-3n+1}-12=25^{n^2-3n}.25-12\)

Với \(n^2-3n=n\left(n-3\right)⋮2\)( vì n, n-3 1 trong 2 số sẽ có sỗ chẵn, hoặc chia trường hợp n chẵn và n lẻ để chứng minh nó chia hết cho 2)

Đặt: \(n^2-3n=2k\) 

=> \(5^{2n^2-6n+2}-12=25^{2k}.25-12\equiv\left(-1\right)^{2k}.25-12\equiv25-12\equiv0\left(mod13\right)\)

Mà \(5^{2n^2-6n+2}-12\)là số nguyên tố

=> \(5^{2n^2-6n+2}-12=13\Leftrightarrow5^{2n^2-6n+2}=25=5^2\Leftrightarrow2n^2-6n+2=2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=0\\n=3\end{cases}}\) thử lại thỏa mãn

Vậy n=0 hoặc n=3

a) ĐKXĐ: \(x\ge-4\)

a) Ta có: \(\sqrt{6-4x+x^2}=x+4\Rightarrow\left(x+4\right)^2=x^2-4x+6\)

\(\Rightarrow x^2+8x+16=x^2-4x+6\Rightarrow4x+10=0\Rightarrow x=-\frac{5}{2}\left(loại\right)\)

Vậy pt vô nghiệm

b) \(\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{2x-1}=0\Rightarrow\sqrt{\left(2x-1\right)^2}+\sqrt{2x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-1}\left(\sqrt{2x-1}+1\right)=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)

Đề bài câu 4. thiếu kìa. Nếu MN? 

Đề sai rồi bạn

Chứng minh IA= ID là vô lý được không

a, Ta có: \(\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2\)= \(2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6}\)

Lại có \(3^2=9=5+4\)mà \(2\sqrt{6}>4\)

suy ra \(\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2>9\)

suy ra \(\sqrt{2}+\sqrt{3}>3\)

b, Ta có: \(\left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)^2=11-2\sqrt{33}+3=14-2\sqrt{33}\)

Lại có: \(2^2=4=14-10\)mà \(2\sqrt{33}>10\)

suy ra \(\left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)^2< 2^2\)

suy ra \(\sqrt{11}-\sqrt{3}< 2\)

#)Giải :

a) √2 +√3 = √( √2 + √3 )² = √( 5 + 2√6 ) = √( 5 + √24 ) 

3 = √9 = √( 5 + √16 )                                          

=> √2 + √3 > 3

Nối BM
Xét tam giác BMD vuông tại D, có: BD² = BM² - MD² (1)
Xét tam giác MCD vuông tại D, có: DC² = MC²- MD² (2)
Từ (1) và (2) => BD² - DC² = BM²- MD² - MC² + MD² = BM² - MC² = BM² - AM² (vì AM=CM) = AB²

=> AB² = BD²- DC² (đpcm)