Ta có: \(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{\left(ab+1\right)+\left(a+1\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu

Ta có: \(\frac{1}{\left(ab+1\right)+\left(a+1\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)

                                                   \(=\frac{1}{4}\left(\frac{abc}{ab+abc}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left[\frac{abc}{ab\left(1+c\right)}+\frac{1}{a+1}\right]=\frac{1}{4}\left(\frac{c}{1+c}+\frac{1}{a+1}\right)\) (1)

CMT² được: \(\frac{1}{bc+b+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\) (2)

                    \(\frac{1}{ca+c+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\) (3)

Cộng (1);(2) và (3) vế theo vế

Ta được: \(\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\le\frac{1}{4}\left[\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{c+1}\right)+\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{a+1}\right)+\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{b+1}\right)\right]\)

\(=\frac{1}{4}.\left(1+1+1\right)=\frac{3}{4}\)

=> đpcm

Bổ sung:

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 1

\(\sqrt{x-\sqrt{x^2}^2}\)

\(\hept{\begin{cases}x+my=1\left(1\right)\\mx+y=1\left(2\right)\end{cases}}\Leftrightarrow x\left(m+1\right)+y\left(m+1\right)=2\) (cộng theo vế (1) và (2) ; tách nhân tử chung)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(m+1\right)=2\) (3)

Để hệ có nghiệm duy nhất thì x = y = t

Thay vào (3) \(2a\left(m+1\right)=2\Leftrightarrow a\left(m+1\right)=1\)

Mà x,y > 0 nên a = x + y > 0

Suy ra \(\hept{\begin{cases}a>0\\m+1>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y>0\\m>-1\end{cases}}\)

Vậy với m > -1 thì phương trình có nghiệm duy nhất: x,y > 0 (không chắc)

thấy bài này bn giải sai sai

\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}=\frac{x^2}{y-1}+4.\left(y-1\right)+\frac{y^2}{x-1}+4.\left(x-1\right)-4x-4y+8\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge2.\sqrt{\frac{x^2}{y-1}.4\left(y-1\right)}+2.\sqrt{\frac{y^2}{x-1}.4.\left(x-1\right)}-4x-4y+8\)

                               \(=2.\sqrt{4x^2}+2.\sqrt{4.y^2}-4x-4y+8\)

                                \(=4x+4y-4x-4y+8\)

                               \(=8\)

                                  đpcm

a, Gọi pt đường thẳng đi qua A và B là (d) y = ax + b

Vì A thuộc (d) => 1 = 2a + b (1)

Vì B thuộc (d) => 2 = a + b (2)

Lấy (1) - (2) được a = -1

thay a = -1 vào (2) => b = 3

=> (d) y = -x + 3

b,Đường thẳng x = 1 ???

b) Tọa độ giao điểm của hai đừng thẳng x=1 và y=2x+1 là nghiệm của hệ phương trình:

\(\hept{\begin{cases}x=1\\y=2x+1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}}\)=> C(1; 3) là giao điểm 

Đường thẳng y=mx+1 đi qua C (1; 3) khi đó C thuộc đường thẳng y=mx+1

=> 3=m.1+1 <=> m=2

\(\hept{\begin{cases}x+ky=3\\kx+4y=6\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{3-x}{k}\left(k\ne0\right)\\kx+4.\frac{3-x}{k}=6\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{3-x}{k}\\\frac{k^2x+12-4x}{k}=6\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}k^2x+12-4x-6k=0\\y=\frac{3-x}{k}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\left(k^2-4\right)-6\left(k-2\right)=0\\y=\frac{3-x}{k}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(k-2\right)\left[x\left(k+2\right)-6\right]=0\\y=\frac{3-x}{k}\end{cases}}\)

a, Với \(k\ne2\)thì Pt có nghiệm là \(x=\frac{6}{k+2}\)

Vậy Pt có nghiệm duy nhất : \(x=\frac{6}{k+2};y=\frac{3-\frac{6}{k+2}}{k}=\frac{3k}{k}=3\)

b,Với \(k=2\)thì pt có vô số nghiệm

ms lp 8 , có chi thông cảm

x+ky=3

=> x=3-ky thế vào phương trình thứ 2

=> k( 3-ky)+4y=6 <=> \(\left(4-k^2\right)y=6-3k\) (3)

+) \(4-k^2=0\Leftrightarrow k=\pm2\)

Với k=2, phương trình 3 trở thành: 0.y=0 => phương trình có vô số nghiệm => hệ ban đầu có vô số nghiệm

Với k=-2, phương trình (3) trở thành: 0.y=12 => phương trình vô nghiệm => hệ ban đầu vô nghiệm

+) \(k\ne\pm2\)Phương trình (3) <=>  y=\(\frac{3}{2+k}\)=> x=3-ky=\(3-\frac{3k}{k+2}=\frac{6}{k+2}\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) tương ứng như trên

Kết luận 

a) k khác 2, -2

b) k=2

c) k =-2

Gọi x là số ống loại 2m và y là số ống loại 3m , x và y nhuyên , không âm

Ta có phương trình: 2x + 3y = 21

\(\Rightarrow2x=21-3y\)

\(\Rightarrow x=\frac{21-3y}{2}=10-y+\frac{1-y}{2}\)

Đặt \(\frac{1-y}{2}=t\in Z\)

Ta có y = 1 - 2t \(\in Z\)

Từ đó có: \(x=10-y+t=10-1+2t+t\Rightarrow9+3t\in Z\)

\(y\ge0\Leftrightarrow1-2t\ge0\Leftrightarrow t\le\frac{1}{2}\)

\(x\ge0\Leftrightarrow9+3t\ge0\Leftrightarrow3t\ge-9\Leftrightarrow t\ge-3\)

\(-3\le t\le\frac{1}{2}\)và \(t\in Z\Rightarrow t=-3,-2,-1,0\)

Với mỗi giá trị của t , ta có giá trị tương ứng của x và y: 

Ống dài 2m cần số ống là : 21 : 2 = 10 ( dư 1 ) ống

Ống dài 3m cần số ống là : 21 : 3 = 7 ( ống )

-Học tốt-

chả biết có đúng hay ko, cứ cho là đã làm