Lời giải:
a. ĐKXĐ: \(\left\{\begin{matrix} 3x\neq 0\\ x+1\neq 0\\ 2-4x\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq 0\\ x\neq -1\\ x\neq \frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

b.

\(P=\left[\frac{(x+2)(x+1)+3x.2}{3x(x+1)}-3\right].\frac{x+1}{2(1-2x)}-\frac{3x-x^2+1}{3x}\)

\(=\frac{x^2+3x+2+6x-9x(x+1)}{3x(x+1)}.\frac{x+1}{2(1-2x)}-\frac{3x-x^2+1}{3x}\)

\(=\frac{-8x^2+2}{3x(x+1)}.\frac{x+1}{2(1-2x)}-\frac{3x-x^2+1}{3x}\)

\(=\frac{-2(2x-1)(2x+1)(x+1)}{6x(x+1)(1-2x)}-\frac{3x-x^2+1}{3x}=\frac{1+2x}{3x}-\frac{3x-x^2+1}{3x}=\frac{x^2-x}{3x}=\frac{x-1}{3}\)

Tại $x=2023$ thì:

$P=\frac{2023-1}{3}=\frac{2022}{3}=674$

c.

Để $P$ nguyên thì $x-1\vdots 3$
$\Rightarrow x=3k+1$ với $k$ nguyên bất kỳ. 

Kết hợp với ĐKXĐ thì $x=3k+1$ với $k\in\mathbb{Z}$

AD = DB 

DE // BC 

⇒ E là trung điểm của AC (đpcm)

Vì một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba

 \(\overline{14xy8}\) có chữ số tận cùng là 8 nên không chia hết cho 5

Vậy không tìm được x; y thỏa mãn đề bài

------------------------

\(\overline{x184}\) có chữ số tận cùng là 4 nên không chia hết cho 5

Vậy không tìm được x; y thỏa mãn đề bài

Hai lần tổng của A, B và C:

\(56+88+82=226\)

\(\Rightarrow A+B+C=226:2=113\)

\(\Rightarrow A=113-\left(B+C\right)=113-88=25\)

\(B=113-82=31\)

\(C=113-56=57\)

Gọi \(x\) (ngày) là số ngày ít nhất ba bạn gặp nhau lần tiếp theo (\(x\in N\))

\(\Rightarrow x=BCNN\left(12;6;8\right)\)

Ta có:

\(12=2^2.3\)

\(6=2.3\)

\(8=2^3\)

\(\Rightarrow x=BCNN\left(12;6;8\right)=2^3.3=24\)

Do \(24:7=3\) (dư 3)

\(\Rightarrow\) Lần đầu ba bạn gặp nhau vào thứ 2 thì lần gần nhất gặp nhau tiếp theo là thứ năm

Gọi số ngày các bạn cùng nhau đến câu lạc bộ là x: Theo đề bài, ta có:

x ⋮ 6 ; x ⋮ 8 ; x ⋮ 12 ⇒ x ϵ BCNN(6,8,12)

Ta có:

6 = 2.3

8 = 2³

12 = 2².3

⇒ BCNN(6,8,12) = 2³ . 3 = 24

⇒ Vậy sau ít nhất 24 ngày, 3 bạn sẽ gặp nhau tại Câu lạc bộ.

Nếu lần đầu 3 bạn gặp nhau vào thứ 2 ⇒ sau 24 ngày các bạn gặp nhau vào thứ: 

1 tuần có = 7 ngày ⇒ 3 tuần có 21 ngày ⇒ dư 3 ngày

2 + 3 = 5 ⇒ Lần gần nhất các bạn gặp nhau vào thứ 5.

\(4\left(x+2\right)=3\left(x+1\right)+17\)

\(4x+8=3x+3+17\)

\(4x-3x=3+17-8\)

\(x=12\)

(-18) : 3 - 25.2 + (-16) : (-8)

= -6 - 50 + 2

= -56 + 2

= -54

+ Những số chia hết cho 2 và 5 thì tận cùng phải là 0;

Vậy các số chia hết cho 2 và 5 trong các số đã cho là: 560; 630

+ Những số chia hết cho 9 thì sẽ chia hết cho 3.

Xét tổng các chữ số của các số chia hết cho cả 2 và 5 ta có:

           5 + 6 + 0  = 11 \(⋮̸\) 9 (loại)

            6 + 3 + 0 = 9 \(⋮\) 9 (nhận)

Vậy trong các số đã cho số chia hết cho cả 2;3;5;9 là số 630

Số chia hết cho 2 và 5 thì có tận cùng là chữ số 0

Số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3 và có tổng các chữ số chia hết cho 9

Vậy số chia hết cho cả 2; 3; 5; 9 là số 630

Lời giải:

$n$ không chia hết cho $3$ nên $n=3k+1$ hoặc $n=3k+2$ với $k$ tự nhiên.

Nếu $n=3k+1$:
$A=5^{2n}+5^n+1=5^{2(3k+1)}+5^{3k+1}+1$

$=5^{6k}.25+5.5^{3k}+1$

Vì $5^3\equiv 1\pmod {31}$

$\Rightarrow A\equiv 1^{2k}.25+5.1^k+1\equiv 31\equiv 0\pmod {31}$

$\Rightarrow A\vdots 31$

Nếu $n=3k+2$ thì:

$A=5^{2(3k+2)}+5^{3k+2}+1$

$=5^{6k}.5^4+5^{3k}.5^2+1$

$\equiv 1^{2k}.1.5+1^k.5^2+1\equiv 5+5^2+1\equiv 31\equiv 0\pmod {31}$

$\Rightarrow A\vdots 31$

Từ 2 TH suy ra $A\vdots 31$ (đpcm)

Bài 2: 4 phút 5 giây = 245 giây

Bài 3: 

              Chiều cao của Bắc và Nam là:

                       138 x 2   =   276 (cm)

              Ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ ta có: 

Chiều cao của Bắc là: (276 + 54) : 2 = 165 (cm)

Chiều cao của Nam là: 276 - 165  = 111 (cm)

Đáp số:.... 

Bài 4: 

a, 167 x 34 - 167 x 24

= 167 x (34 - 24)

= 167 x 10

= 167

b, 2023 x 7 + 20023 x 4 - 2023

= 2023 x 7 + 2003 x 4 - 2003 x 1

= 2023 x (7 + 4  - 1)

= 2023 x 10

= 2023