Đặt: \(x^2=t\)

Sao đó giải như pt bậc 2 bình thường 

cops mạng đâu thế :((

Đặt : \(x=\frac{1}{a};y=\frac{2}{b};z=\frac{3}{c}\)

Khi đó điều kiện bài toán thành : \(2xyz\ge2x+4y+7z\)

và \(E=x+y+z\)

\(\Rightarrow z\left(2xy-7\right)\ge2x+4y\)

\(\Leftrightarrow2xy>7\)và \(z\ge\frac{2x+4y}{2xy-7}\)

Ta có : \(\left(x+y+z\right)\ge x+y+\frac{2x+4y}{2xy-7}\)

           \(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\ge x+\frac{11}{2x}+y-\frac{7}{2x}+\frac{2x+\frac{14}{x}}{2xy-7}\)

mà \(2\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\ge\frac{3+\frac{7}{x}}{2}\)

\(\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{2}+x+\frac{9}{2}\ge\frac{15}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}\left(x=3;y=\frac{5}{2};z=2\right)\)

_Hắc phong_

Đặt \(x=\frac{1}{a};y=\frac{2}{b};z=\frac{3}{c}\)

Khi đó ta được điều kiện : \(2xyz\ge2x+4y+7z\)

Áp dụng bất ẳng thức AM-GM ta thấy rằng :

\(x+y+z=\frac{1}{15}.\left(\frac{5}{2}x+\frac{5}{2}x+....+\frac{5}{2}x+3y+3y+.....+3y+\frac{15}{4}z+\frac{15}{4}z+...+\frac{15}{4}z\right)\)

                                                (6 số \(\frac{5}{2}x\))                                                     (5 số\(3y\))                    (4 số\(\frac{15}{4}z\))

\(\ge\left(\frac{5x}{2}\right)^{\frac{2}{5}}\left(3y\right)^{\frac{1}{3}}\left(\frac{15z}{4}\right)^{\frac{4}{15}}\)

Và cũng có : 

\(2x+4x+7z=\frac{1}{15}\left(10x+...+10x+12y+...+12y+15z+..+15z\right)\)

                                                  (3 số\(10x\))                              (5 số\(12y\))                   (7 số\(15z\)) 

\(\ge10^{\frac{1}{5}}.12^{\frac{1}{3}}.15^{\frac{7}{15}}.x^{\frac{1}{5}}.y^{\frac{1}{3}}.z^{\frac{7}{15}}\)

Điều này có nghĩa là :

\(\left(x+y+z\right)^2\left(2x+4y+7z\right)\ge\frac{225}{2}xyz\)

Vì \(2xyz\ge2x+4y+7z\)nên ta có :

\(\left(x+y+z\right)^2\ge\frac{225}{4}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{15}{2}\)

Dấu"="xảy ra kh\(x=2;y=\frac{5}{2};=2\)

Từ đó suy ra

\(a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}\)

P/s : \(min_E=\frac{15}{2}\)

_Minh ngụy_

\(a,\)Để \(\sqrt{-3x}\)có nghĩa \(\Leftrightarrow-3x\ge0\Rightarrow x\le0\)

\(b,\)Để \(\sqrt{4-2x}\)có nghĩa \(\Leftrightarrow4-2x\ge0\Rightarrow-2\left(x-2\right)\ge0\Rightarrow x-2\le0\Leftrightarrow x\le2\)

\(c,\)Để \(\sqrt{-3x+2}\)có nghĩa \(\Leftrightarrow-3x+2\ge0\Rightarrow-3x\ge-2\Leftrightarrow x\le\frac{2}{3}\)

\(d,\)Để \(\sqrt{3x+1}\)có nghĩa \(\Leftrightarrow3x+1\ge0\Rightarrow3x\ge-1\Rightarrow x\ge-\frac{1}{3}\)

\(e,\)Để \(\sqrt{9x-2}\)có nghĩa \(\Leftrightarrow9x-2\ge0\Rightarrow9x\ge2\Rightarrow x\ge\frac{2}{9}\)

\(f,\)Để \(\sqrt{6x-1}\)có nghĩa \(\Leftrightarrow6x-1\ge0\Rightarrow6x\ge1\Rightarrow x\ge\frac{1}{6}\)

a) \(x\le0\) 

\(b)2x\le4\Leftrightarrow x\le2\) 

\(c)-3x\ge-2\Leftrightarrow x\le\frac{2}{3}\)

..........

a) \(\Delta'=m^2-\left(m-4\right)=m^2-m+4=m^2-2.m.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{15}{4}\)

\(=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{15}{4}\ge\frac{15}{4}>0;\forall m\)

=> phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Áp dụng định lí Viet ta có: 

\(x_1.x_2=m-4\)

\(x_1+x_2=-2m\)

=> \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2=\left(-2m\right)^2-2\left(m-4\right)=4m^2-2m+8\)

=> \(x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\right)=\left(-2m\right)\left(4m^2-2m+8-\left(m-4\right)\right)\)

\(=-2m\left(4m^2-3m+12\right)\)

Theo bài ra ta có:

 \(x_1+x_2=\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_1}\)

 \(\Leftrightarrow x_1+x_2=\frac{x_1^3+x_2^3}{x_1.x_2}\)

Thay vào ta có:

\(-2m=\frac{-2m\left(4m^2-3m+12\right)}{m-4}\)( đk m khác 4)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=0\\m-4=4m^2-3m+12\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=0\left(tm\right)\\4m^2-4m+16=0\left(l\right)\end{cases}\Leftrightarrow m=0}\)

Vì \(4m^2-4m+16=\left(2m-1\right)^2+15>0\) với mọi m

Vậy m =0

cảm ơn nhìu

\(S=\frac{\sqrt{3}-1}{3-1}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{7-5}+...+\frac{\sqrt{2019^2}-\sqrt{2019^2-2}}{2019^2-\left(2019^2-2\right)}\)

\(S=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+...+\frac{\sqrt{2019^2}-\sqrt{2019^2-2}}{2}\)

\(S=\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+...+\sqrt{2019^2}-\sqrt{2019^2-2}\right)\)

\(S=\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{2019^2}\right)\)

\(S=\frac{\left(2019-1\right)}{2}=1009\)

\(S=\frac{1-\sqrt{3}}{1-3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{3-5}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{7}}{5-7}+...+\frac{2019-\sqrt{2019^2-2}}{2019^2-2019^2-2}.\)

\(S=\frac{1-\sqrt{3}}{-2}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{-2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{7}}{-2}+...+\frac{2019-\sqrt{2019^2-2}}{-2}.\)

\(-2S=1-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{5}...+2019-\sqrt{2019^2-2}\)

\(-2S=1-\sqrt{2019^2-2}\Rightarrow S=\frac{\sqrt{2019^2-2}-1}{2}\)

ĐK: \(x^2-1\ge0\) (1)

\(pt\Leftrightarrow\left(x^2+3\sqrt{x^2-1}\right)^2=x^4-x^2+1\)

\(\Leftrightarrow6\sqrt{x^2-1}+9\left(x^2-1\right)=-x^2+1\)

\(\Leftrightarrow6\sqrt{x^2-1}+10\left(x^2-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-1}\left(6+10\sqrt{x^2-1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-1}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-1=0\Leftrightarrow x=\pm1\)Thỏa mãn đk (1)

Vậy ...

\(\sqrt{\frac{5+2\sqrt{6}}{5-2\sqrt{6}}}+\sqrt{\frac{5-2\sqrt{6}}{5+2\sqrt{6}}}\)

\(=\sqrt{\frac{3+2\sqrt{3}\sqrt{2}+2}{3-2\sqrt{3}\sqrt{2}+2}}+\sqrt{\frac{3-2\sqrt{3}\sqrt{2}+2}{3+2\sqrt{3}\sqrt{2}+2}}\)

\(=\sqrt{\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2}}+\sqrt{\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}+\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}\)\

\(=\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)+\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2+\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}\)

\(=\frac{5+2\sqrt{6}+5-2\sqrt{6}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}\)

\(=10\)

\(\frac{3+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}-\left(\sqrt{2}+3\right)\)

\(=\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+2\right)}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+1}-\left(\sqrt{2}+3\right)\)

\(=\sqrt{3}+2+\sqrt{2}-\sqrt{2}-3\)

\(=\sqrt{3}-1\)

a) Gọi F' là giao điểm của AE và BC

MN//BC => \(\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}\)

NE//F'C => \(\frac{EN}{FC}=\frac{AN}{AC}\)

=> \(\frac{EN}{F'C}=\frac{MN}{BC}=\frac{2EN}{2FC}=\frac{EN}{FC}\Rightarrow F'C=FC\)

mà F', F cùn thuộc cạnh BC

=> F' trùng F

=> A, E, F thẳng hàng

b) Xét tam giác BNC có: Flaf trung điểm BC; G là trung điểm BN

=> FG là đường trung bình tam giác BNC

=> FG//=1/2 NC

=> FG=9:2=4,5 cm

Xét tam giác BNM tương tự

có: EG//=1/2 BM 

=> EG=12:2=6 cm

Ta lại có: EG//BM => EG//AB

FG //NC => FG//AC

Mà AB vuông AC

=> EG vuông FG

=> Tam giác EGF vuông tại G có: FG=4,5 cm và EG=6 cm

Áp dụng định lí pitago: 

=> \(EF^2=GE^2+GF^2=4,5^2+6^2=7,5^2\)

=> EF=7,5

\(\widehat{EGF}=90^o\)

\(\cos\widehat{GEF}=\frac{GE}{EF}=\frac{6}{7,5}=\frac{4}{5}\Rightarrow\widehat{GEF}=arcos\frac{4}{5}\)

\(\cos\widehat{GFE}=\frac{GF}{EF}=\frac{4,5}{7,5}=\frac{3}{5}\Rightarrow\widehat{GFE}=arcos\frac{3}{5}\)

c) Ta có: MN//BC 

=> \(\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{CN}=\frac{2GE}{2GF}=\frac{GE}{GF}\)

Xét tam giác vuông GEF và tam giác vuông ABC 

có: \(\frac{AB}{AC}=\frac{GE}{GF}\)

=> tam giác GEF đồng dạng với tam giác ABC