Áp dụng Cô-si 4 số ta được

\(a^4+b^4+b^4+1\ge4\sqrt[4]{a^4.b^4.b^4.1}=4ab^2\)

\(b^4+c^4+c^4+1\ge4\sqrt[4]{b^4.c^4.c^4.1}=4bc^2\)

\(c^4+1+1+1\ge4\sqrt[4]{c^4.1.1.1}=4c\)

\(1+1+a^4+a^4\ge4\sqrt[4]{1.1.a^4.a^4}=4a^2\)

Cộng từng vế của các bđt trên lại ta được

\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)+7\ge4ab^2+4bc^2+4c+4a^2\)

\(\Leftrightarrow3.3+7\ge4\left(ab^2+bc^2+c+a^2\right)\)

\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+c+a^2\le4\)

Dấu "=" khi a = b = c = 1

Vậy .......... 

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(ab^2+bc^2+c+a^2\le\frac{a^2+b^4+b^2+c^4+c^2+1+a^4+1}{2}\le\frac{\frac{a^4+1+b^4+1+c^4+1}{2}+a^4+b^4+c^4+2}{2}=\frac{\frac{3+3}{2}+3+2}{2}=\frac{8}{2}=4\)Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

                                           đpcm

Haizz nhầm rồi:(

BĐT \(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le1+2+3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}.1+\frac{\sqrt{b}}{2}.2+\frac{\sqrt{c}}{3}.3\le1+2+3\)

\(VT=\frac{\sqrt{c}}{3}.1+\left(\frac{\sqrt{c}}{3}.1+\frac{\sqrt{b}}{2}.1\right)+\left(\frac{\sqrt{c}}{3}.1+\frac{\sqrt{b}}{2}.1+\sqrt{a}.1\right)\)

\(\le\frac{1}{2}\left[\frac{c}{9}+\left(\frac{c}{9}+\frac{b}{4}\right)+\left(\frac{c}{9}+\frac{b}{4}+a\right)+6\right]\) (áp dụng BĐT \(xy\le\frac{x^2+y^2}{2}\))

\(\le\frac{1}{2}\left(1+2+3+6\right)=6^{\left(đpcm\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = 4; c = 9

Is that true?Mong là lần này em không bị nhầm dấu-_-

Mình làm thử,đúng hay không thì mình không biết.Có chi mong bạn thông cảm và ib lỗi sai cho mình nha

Từ \(a+\frac{b}{4}+\frac{c}{9}\le3\) và \(\frac{b}{4}+\frac{c}{9}\le2\)

Suy ra \(a=\left(a+\frac{b}{4}+\frac{c}{9}\right)-\left(\frac{b}{4}+\frac{c}{9}\right)\le3-2=1\)  (1)

Từ \(\frac{b}{4}+\frac{c}{9}\le2\) và \(c\le9\) suy ra \(\frac{b}{4}+\frac{c}{9}\le\frac{b}{4}+\frac{9}{9}=1\le2\)

\(\Rightarrow\frac{b}{4}\le1\Rightarrow b\le4\) (2)

Từ (1) và (2) kết hợp với giả thiết suy ra \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le\sqrt{1}+\sqrt{4}+\sqrt{9}=6^{\left(đpcm\right)}\)

Có: \(VT=\frac{abc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{abc}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{abc}{c^2\left(a+b\right)}\)

            \(=\frac{bc}{ab+ac}+\frac{ac}{bc+ba}+\frac{ab}{ac+bc}\)

Áp dụng bđt \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)được

\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Mà\(\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(Chuyển vế đưa thành tổng bình phương) 

 \(\Rightarrow VT\ge...\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" khi a=b=c=1

sử dụng bđt phụ: \(\left(1+x^3\right)\left(1+y^3\right)\left(1+z^3\right)\ge\left(1+xyz\right)^3\)

Biến đổi tương đương

khi đó: \(\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)\left(1+b^3\right)\ge\left(1+ab^2\right)^3\)

Tương tự có đpcm

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\)\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\left(luônđúng\right)\)

suy ra đpcm

a) a²+ b² \(\ge\) 2ab 
b² + c² \(\ge\) 2bc 
c² + a² \(\ge\) 2ca 
Cộng 2 vế =>a²+ b²+ b² + c² + c² + a²\(\ge\)2ab+2bc+2ca => 2.a²+2.b²+2.c² \(\ge\)2.(ab+bc+ca) => 2.(a²+b²+c²) \(\ge\) 2.(ab+bc+ca)
<=> a²+b²+c²\(\ge\)ab+bc+ca

​

mày khôn nên tao đéo bảo

gì đây luu quang thang