\(\hept{\begin{cases}4\sqrt{x+1}-xy\sqrt{y^2+4}=0\left(1\right)\\\sqrt{x^2-xy^2+1}+3\sqrt{x-1}=xy^2\left(2\right)\end{cases}}\)

\(ĐK:\hept{\begin{cases}x\ge1\\x^2-xy^2+1\ge0\end{cases}}\), kết hợp với phương trình (1) ta có y > 0

Từ (1) suy ra \(4\sqrt{x+1}=xy\sqrt{y^2+4}\)

\(\Leftrightarrow16\left(x+1\right)=x^2y^2\left(y^2+4\right)\Leftrightarrow\left(y^4+4y^2\right)x^2-16x-16=0\)

Giải phương trình theo ẩn x, ta được: \(x=\frac{4}{y^2}\)hoặc \(x=\frac{-4}{y^2+4}< 0\)(loại)

Với \(x=\frac{4}{y^2}\Leftrightarrow xy^2=4\)thay vào phương trình (2), ta được \(\sqrt{x^2-3}+3\sqrt{x-1}=4\)(*)

\(ĐK:x\ge\sqrt{3}\), ta có: (*)\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2-3}-1\right)+3\left(\sqrt{x-1}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-4}{\sqrt{x^2-3}+1}+\frac{3\left(x-2\right)}{\sqrt{x-1}+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(\frac{x+2}{\sqrt{x^2-3}+1}+\frac{3}{\sqrt{x-1}+1}\right)=0\)

Dễ thấy \(\frac{x+2}{\sqrt{x^2-3}+1}+\frac{3}{\sqrt{x-1}+1}>0\forall x\ge\sqrt{3}\)nên x - 2 = 0\(\Leftrightarrow x=2\)

Với x = 2, ta có: \(\hept{\begin{cases}y^2=2\\y>0\end{cases}}\Leftrightarrow y=\sqrt{2}\)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(2;\sqrt{2}\right)\)

C1 : *Xét m < 0 thì m + |m| = m - m = 0

                              m|m| = -|m²| < 0

         Nên m + |m| > m|m|

       *Xét m = 0 thì m + |m| = m|m| (=0)

       *Xét 0 < m < 2 thì m + |m| = 2m

                                   m|m| = m² 

Xét hiệu m² - 2m = m(m - 2) < 0 V 0 < m < 2

Nên m + |m| > m|m| 

     *Xét m > 2 thì m + |m| = 2m

                            m|m| = m²

Xét hiệu m² - 2m = m(m - 2) > 0 V m > 2

Nên m + |m| < m|m|

C2, Gọi BCNN(1 ; 2 ; 3 ; ... ; 2002) = a

2002 số liên tiếp cần xét là : a ; a + 1 ; a + 2 ; a + 3 ; ... ; a + 2001

Trong 2002 số này thì  a \(⋮\)1 ; 2 ; 3 ; ... ; 2001

=> a ; a + 1 ; ... ; a + 2001 là hợp số 

=> có 2002 số tự nhiên liên tiếp là hợp số

a) +) Dễ thấy: ^BAD = ^CAO (Cùng phụ ^ABC). Mà ^BAI = ^CAI nên ^OAI = ^DAI 

Suy ra: ^OAI = ^DAO/2 = ^BAI - ^BAD = ^BAC/2 - 90⁰ + ^ABC = ^BAC/2 - (^BAC+^ABC+^ACB)/2 + ^ABC

= (^ABC + ^ACB)/2 = \(\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{\alpha^2-\beta^2}{2\left(\alpha+\beta\right)}=\frac{\alpha^2-\beta^2}{sđ\widebat{BAC}}\) (đpcm).

+) Kẻ đường kính AG của đường tròn (O). Dễ thấy: Tứ giác BICJ nội tiếp, gọi (BICJ) cắt AC tại R khác C.

Do AK=2R nên AK = AG. Ta có: ^ARB = ^ARI + ^BRI = ^IBC + ^ICB = (^ABC+^ACB)/2 = ^ABI + ^IBC = ^ABR

=> \(\Delta\)BAR cân tại A => AB = AR. Kết hợp với AK=AG, ^BAG = ^RAK (cmt) => \(\Delta\)ABG = \(\Delta\)ARK (c.g.c)

=> ^ABG = ^ARK = 90⁰ => ^KRC = ^KDC = 90⁰ => Tứ giác DKCR nội tiếp 

=> AD.AK = AR.AC = AI.AJ => Tứ giác DIJK nội tiếp (đpcm).

b) \(\Delta\)KAG cân tại A có phân giác AI => AI vuông góc KG hay AM vuông góc KG. Mà AM vuông góc GM

Nên K,G,M thẳng hàng => K,M,G,N thẳng hàng => AM vuông góc KN tại M

Ta thấy: M là trung điểm IJ, KM vuông góc IJ tại M nên \(\Delta\)KIJ cân tại K

Xét đường tròn (KIJ): KI = KJ, KN vuông góc IJ => KN là đường kính của (KIJ)

Mà D thuộc đường tròn (KIJ) (cmt) => ^KDN = 90⁰ => ND vuông góc AK tại D => N,L,D thẳng hàng

Xét \(\Delta\)AKN có: AM vuông góc KN, ND vuông góc AK, AM và ND cùng đi qua L

=> L là trực tâm \(\Delta\)AKN => KL vuông góc AN (đpcm).

c) Gọi P là trực tâm của \(\Delta\)AJQ

Do \(\Delta\)KIJ cân tại K => ^KIJ = ^KJI. Có tứ giác DIJK nội tiếp => ^KIJ = ^KDJ => ^KDJ = ^KJI

Từ đó: \(\Delta\)DKJ ~ \(\Delta\)JKA (g.g) => KJ² = KD.KA => KQ² = KD.KA => \(\Delta\)KQD ~ \(\Delta\)KAQ (c.g.c)

Suy ra: ^QDJ = ^KDQ + ^KDJ = ^AQK + ^AJK = 180⁰ - ^QAJ = 180⁰ - ^QPJ => Tứ giác PQDJ nội tiếp

^PDJ = ^PQJ => ^PDK + ^KDJ = ^PDK + ^QJA = ^PQJ => ^PDK = ^PQJ - ^QJA = 90⁰

=> PD vuông góc AD. Mà BC vuông góc AD tại D nên PD trùng BC hay P nằm trên BC (đpcm).

d) Ta thấy: ^ABC > ^ACB (\(\alpha>\beta\)) => ^BAD < ^CAD. Lại có: ^BAI = ^CAI, ^BAD + ^CAD = ^BAI + ^CAI = ^BAC

Suy ra ^BAD < ^BAI => B và I nằm khác khía so với AD => D thuộc [BF]

Hạ IS, IT vuông góc với AC,AB thì F thuộc [DT] => Thứ tự các điểm trên BC là B,D,F,T,C. Do đó: ^IFC = ^DFK < 90⁰

Ta xét thứ tự các điểm trên cạnh AC: 

+) A,S,E,C: Vì IS vuông góc AC, theo thứ tự này thì ^IEC > 90⁰. Cũng dễ có: \(\Delta\)IES = \(\Delta\)IFT (Ch.cgv)

=> ^IES = ^IFT < 90⁰  => ^IFT + ^IEC = 180⁰ => Tứ giác FIEC nội tiếp => ^ECF = ^DIK

Mà ^DIK = ^DJK = ^DAI = \(\frac{\alpha-\beta}{2}\) nên \(\beta=\frac{\alpha-\beta}{2}\Rightarrow\alpha=3\beta\) (*)

+) A,E,S,C: Trong TH này thì ^IEC < 90⁰ => ^IFT + ^IEC < 180⁰ => ^ECF + ^EIF > 180⁰

=> ^ECF > ^DIK hay \(\beta>\frac{\alpha-\beta}{2}\Rightarrow\alpha< 3\beta\)   (**)

Từ (*) và (**) suy ra: \(\alpha\le3\beta\) (đpcm).

I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"

1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;

2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.

3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.

Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.

Cậu ơi ko đưa câu hỏi linh tinh nhé!!!

Muốn tìm ny đi chỗ khác... Chúc năm mơi vui vẻ.

\(\text{Giải}\)

\(P=a+\frac{1}{a}=\frac{a}{4}+\frac{3}{4}.a+\frac{1}{a}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{1}{a}.\frac{a}{4}}+\frac{3}{4}a=1+\frac{3}{4}a\)

\(a\ge2\Rightarrow\frac{3}{4}a\ge1,5\Rightarrow P_{min}=1,5+1=2,5\)

Vậy: GTNN của P=2,5. Dấu "=" xảy ra khi: a=2

Giải thích cho cách tách của shitbo:

Để áp dụng Cô si,ta cần tìm k sao cho: \(\frac{1}{a}=\frac{a}{k}\) (1)

Theo đề bài thì ta dự đoán được điểm rơi tại a = 2

Suy ra \(\frac{1}{2}=\frac{2}{k}\Leftrightarrow k=4\)

Thay vào (1) ta có: \(\frac{1}{a}=\frac{a}{4}\).Ta sẽ tách \(a=\frac{a}{4}+\frac{3a}{4}\) (có chứa \(\frac{a}{4}\))

Thay vào ta có: \(P=a+\frac{1}{a}=\left(\frac{a}{4}+\frac{1}{a}\right)+\frac{3a}{4}\)

Đến đây áp dụng BĐT AM-GM cho biểu thức trong ngoặc là ra.

sách lớp mấy? trang bao nhiêu?

1 . Gọi vận tốc xe con là x km/h, vận tốc xe tải là y km/h. ĐK: x > y > 0 
Thời gian xe con đi đến C là 120/x 
Thời gian xe tải đi đến C là (200-120)/y = 80/y 
Do hai xe cùng khởi hành nên ta có phương trình: 120/x=80/y (1) 
Khoảng cách AD là 120-24=96km 
Thời gian xe con đi từ A đến D là 96/x 
Thời gian xe tải đi đến D là (200-96)/y = 104/y 
Do xe con khởi hành sau xe tải 1 giờ nên ta có phương trình: 96/x=(104/y)-1 (2) 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
{120/x = 80/y 
{96/x = (104/y) - 1 
Giải HPT này ta tìm được x = 60; y = 40 (tmđk) 
Vậy vận tốc xe con là 60 km/h, vận tốc xe tải là 40 km/h 

2 . Gọi xx là vận tốc riêng của tàu thủy (x>3)(x>3) (km/h)

vận tốc khi xuôi dòng là x+3x+3 (km)

vận tốc khi ngược dòng là x−3x−3 (km)

thời gian khi đi xuôi dòng là 72x+372x+3 (h)

thời gian khi đi ngược dòng là 54x−354x−3 (h)

ta có tổng thời gian đi ngược và xuôi dòng là 66 (h)

nên ta có phương trình : 72x+3+54x−3=672x+3+54x−3=6

⇔72(x−3)+54(x+3)(x−3)(x+3)=6⇔72x−216+54x+162x2−9=6⇔72(x−3)+54(x+3)(x−3)(x+3)=6⇔72x−216+54x+162x2−9=6

⇔126x−54x2−9=6⇔6(x2−9)=126x−54⇔126x−54x2−9=6⇔6(x2−9)=126x−54

⇔6x2−54=126x−54⇔6x2−126x=0⇔6x2−54=126x−54⇔6x2−126x=0

⇔6x(x−21)=0{6x=0x−21=0⇔{x=0(loại)x=21(tmđk)⇔6x(x−21)=0{6x=0x−21=0⇔{x=0(loại)x=21(tmđk)

vậy vận tốc riêng của tàu thủy là 2121 km/h

3 . a: số học sinh dự thi của trường A 
b: số học sinh dự thi của trường B 
Ta có hệ pt: 
0.8a+0.9b = 0.84*420 
a+b = 420 
Nghiệm: 
a =252 
b = 168 

4 . Gọi x(học sinh) là số học sinh lớp 8A (0≤x≤800≤x≤80)

Số học sinh lớp 8B là: 80−x80−x

Số sách lớp 8A ủng hộ là: 2x (quyển)

Số sách lớp 8B ủng hộ là: 3(80-x) (quyển)

Theo đề bài 2 lớp goáp được 198 quyển nên ta có phương trình:

2x+3(80−x)=1982x+3(80−x)=198

⇔2x+240−3x=198⇔2x+240−3x=198

⇒x=42⇒x=42 (học sinh) (TMĐK)

Vậy số học sinh lớp 8A là: 42 học sinh

Số học sinh lớp 8B là: 80−x=80−24=5680−x=80−24=56 học sinh

5 . Gọi thời gian đội xe chở hết hàng theo kế hoạch là x (ngày)( x>1)

Thì thời gian thực tế đội xe đó chở hết hàng là x - 1 (ngày)

Mỗi ngày theo kế hoạch đội xe đó phải chở được: 120x120x (tấn)

Thực tế đội đó đã chở được:120+5 = 125 (tấn) nên mỗi ngày đội đó chở được 125x−1125x−1 ( tấn)

Vì thực tế mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên ta có phương trình:

125x−1−120x=5125x−1−120x=5

⇔125x−120x+120=5x2−5x⇔125x−120x+120=5x2−5x

⇔5x2−5x−5x−120=0⇔5x2−5x−5x−120=0

⇔5x2−10x−120=0⇔5x2−10x−120=0

⇔x2−2x−24=0⇔x2−2x−24=0

Suy ra x=6x=6 hoặc x=−4x=−4

Mà x>1x>1

⇒x=6⇒x=6

Vậy theo kế hoạch đội đó chở 6 ngày

Hok tốt