\(N=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2-\left(\sqrt{x}-1\right)^2+4\sqrt{x}\left(x-1\right)}{x-1}.\dfrac{x-1}{2x\sqrt{x}}\\ =\dfrac{x+2\sqrt{x}+1-\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+4x\sqrt{x}-4\sqrt{x}}{2x\sqrt{x}}\\ =\dfrac{4x\sqrt{x}}{2x\sqrt{x}}=2\left(x>0;x\ne1\right)\)

\(C=\dfrac{1}{\sqrt{x}\left(x\sqrt{x}-1\right)}.\dfrac{\sqrt{x}\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\\ =\dfrac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}.\dfrac{\sqrt{x}\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\\ =\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{1}{x-1}\left(x>0;x\ne1\right)\)

bn ơi

\(a,b\ge1\)

- Áp dụng bất đẳng thức Caushy, ta có:

\(a\sqrt{\left(b-1\right).1}+b\sqrt{\left(a-1\right).1}\le a.\dfrac{\left(b-1\right)+1}{2}+b.\dfrac{\left(a-1\right)+1}{2}=\dfrac{ab}{2}+\dfrac{ab}{2}=ab\left(đpcm\right)\)

- Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}b-1=1\\a-1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=2\)

a/ 

\(AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16cm\)

\(\sin\widehat{B}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}\) Từ đó suy ra góc \(\widehat{B}\)

\(\widehat{C}=90^o-\widehat{B}\)

b/

Xét tg vuông AHF có

\(HF^2=HN.HA\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền) (1)

Xét tf vuông CHF có

\(HF^2=HM.HC\) (lý do như trên) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow HN.HA=HM.HC\)

c/

Xét tg vuông ABC có

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{16^2}{20}=12,8cm\)

Xét tg vuông ABH có

\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{16^2-12,8^2}=9,6cm\)

Xét tg vuông AHC có

\(AH^2=AF.AC\Rightarrow AF=\dfrac{AH^2}{AC}=7,68cm\)

Xét tg vuông AHF có

\(HF=\sqrt{AH^2-AF^2}=\sqrt{9,6^2-7,68^2}=5,76cm\)

Ta dễ dàng c/m được HMFN là hình chữ nhật

=> MN=HF=5,76 cm (đường chéo hình chữ nhật)

Ta có

HC=BC-BH=20-12,8=7,2 cm

Áp dụng t/c đường phân giác có

\(\dfrac{AK}{AH}=\dfrac{CK}{HC}\Rightarrow\dfrac{AK}{CK}=\dfrac{AH}{HC}=\dfrac{9,6}{7,2}=\dfrac{4}{3}\)

\(\Rightarrow AK=\dfrac{AC}{4+3}.4=6,8cm\)

=> KF=AF-AH=7,68-6,8=0,88cm

Xét tg vuông HFK có

\(HK=\sqrt{HF^2+KF^2}\) bạn tự tính nốt nhé

\(\sqrt{98};\sqrt{80};\sqrt{54};\sqrt{97};\sqrt{99}\)

\(\Rightarrow6\sqrt{3};4\sqrt{5};\sqrt{97};7\sqrt{2};3\sqrt{11}\)

\(7\sqrt{2}=\sqrt{98}\)

\(4\sqrt{5}=\sqrt{80}\)

\(6\sqrt{3}=\sqrt{108}\)

\(3\sqrt{11}=\sqrt{99}\) 

Vây \(4\sqrt{5},\sqrt{97},7\sqrt{2},3\sqrt{11},6\sqrt{3}\)