Cho ∆ABC. Gọi M là trung điểm BC, O là tâm đường tròn nội tiếp,I là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A, gọi D và E tương ứng là hình chiếu của O và I trên BC . CMR
a) M là trung điểm DE
b) đường thẳng OM đi qua trung điểm của đoạn thẳng AD
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(y=\sqrt{x^2-2x+3}+\sqrt{2x^2-4x+3}=\sqrt{\left(x-1\right)^2+2}+\sqrt{2\left(x-1\right)^2+1}\ge\sqrt{2}+1\)
Dấu "=" khi x = 1
Gọi giao điểm khác K của 2 đường tròn (BSK) và (CTK) là L.
Ta có: ^KSIa + ^KTIa = ^AYIa + ^AXIa = 1800 => Tứ giác SKTIa nội tiếp
Khi đó: Áp dụng ĐL Miquel vào \(\Delta\)BCIa ta có B,L,C thẳng hàng và LZ là phân giác ^SLT
Xét \(\Delta\)LST: Phân giác trong LZ => \(\frac{ZS}{ZT}=\frac{LS}{LT}\) (ĐL đường phân giác trong tam giác)
Ta thấy: ^CTL = ^CKL = ^CBIa => Tứ giác BLTIa nội tiếp => ^CIaL = ^CBT
Do ^BCT= ^YCIa;^CTB = ^CSIa = ^AYIa nên ^CIaL = ^CIaY. Từ đó: \(\Delta\)CLIa = \(\Delta\)CYIa (g.c.g)
=> \(\Delta\)CLT = \(\Delta\)CYT (c.g.c) => LT = YT. Tương tự: LS = XS. Từ đấy kết hợp với \(\frac{ZS}{ZT}=\frac{LS}{LT}\) (cmt)
Suy ra: \(\frac{ZS}{ZT}=\frac{XS}{YT}\). Ta lại có: ^XSZ = ^IaSX + ^IaSZ = 1800 - ^LKB + ^IaKT = ^LKT - ^IaKT = ^LKIa
= ^CKL + ^CKZ = ^CTL + ^CTZ = ^CTY + ^CTZ = ^YTZ. Do đó: \(\Delta\)SZX ~ \(\Delta\)TZY (c.g.c)
=> ^SZX = ^TZY. Mà S,Z,T thẳng hàng nên X,Y,Z thẳng hàng (đpcm).