a/ 

\(MP\perp AC;NA\perp AC\) => MP//NA

\(MN\perp AB;PA\perp AB\) => MN//PA

=> ANMP là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Ta có \(\widehat{A}=90^o\)

=> ANMP là hình chữ nhật (hbh có 1 góc vuông là HCN)

b/

MN//PA (cmt) => MN//AC

MB=MC (gt)

=> NA=NB (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

C/m tương tự cũng có PA=PC

Ta có

MP//NA (cmt) => MP//NB

NA=NB; PA=PC => NP là đường trung bình của tg ABC

=> NP//BC => NP//MB

=> BMPN là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

c/

Xét HCN ANMP có

FM=FA (trong HCN 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

EM=EB (gt)

=> EF là đường trung bình của tg MAB => EF//AB

=> ABEF là hình thang

Ta có

MB=MC => AM=MB=MC=BC/2 (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Ta có

FM=FA=AM/2

EB=EM=BM/2

=> FA=EB

=> ABEF là hình thang cân

d/

Vì ABCD là hbh nên => AB=DC, AD=BC

có M là tđ của AB, P là trung điểm của DC mà AB=DC=>MB=DP (1)

N là tđ của BC, Q là tđ của AD mà AD=BC=> QD=BN (2)

Có góc QDB=góc MBN (ABCD là hbh) (3)

(1),(2),(3)=> tam giác MPN=tam giác QDP=>QP=MN

tương tự, cm QM=PN=> tứ giác QMNP có QM=BN, QP=MN => Tứ giác MNPQ là hbh( có hai cặp cạnh đối bằng nhau)

Bạn cảm ơn ai thế

cũng ko bt

$A=8abc+4\left(ab+bc+ca\right)+2\left(a+b+c\right)+1$

A = 8abc + 4ab + 4bc + 4ca + 2a + 2b + 2c + 1

$A=\left(8abc+4ab\right)+\left(4bc+2b\right)+\left(4ca+2a\right)+\left(2c+1\right)$

$A=4ab\left(2c+1\right)+2b\left(2c+1\right)+2a\left(2c+1\right)+\left(2c+1\right)$

$A=\left(2c+1\right)\left(4ab+2a+2b+1\right)$

$A=\left(2c+1\right)\left[2a\left(2b+1\right)+\left(2b+1\right)\right]$

$A=\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)\left(2c+1\right)$

A = abc - (ab + bc + ca) + a + b + c - 1

= (abc - ab) - (bc - b) - (ac - a) + (c - 1)

= ab(c - 1) - b(c - 1) - a(c - 1) + (c - 1) 

= (ab - b - a + 1)(c - 1) 

= (a - 1).(b - 1).(c - 1)   

=(a+b+c)(ab+bc+ca)

=(a+b)(b+c)(c+a)