(3 điểm)
Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$, vẽ tia phân giác $B D$. Kẻ $D E$ vuông góc với $B C$
( ${E}$ thuộc ${BC}$ ). Gọi ${F}$ là giao điểm của ${BA}$ và ${ED}$. Chứng minh rằng:
a) Tam giác ${BED}$ bằng tam giác ${BAD}$
b) Tam $BCF$ cân tại $B.$
c) ${BD}$ là đường trung tuyến của tam giác ${BCF}$?
a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có
BD chung
\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)
Do đó: ΔBAD=ΔBED
b: Ta có: ΔBAD=ΔBED
=>BA=BE
Xét ΔBEF vuông tại E và ΔBAC vuông tại A có
BE=BA
\(\widehat{EBF}\) chung
Do đó: ΔBEF=ΔBAC
=>BF=BC
=>ΔBFC cân tại B
c: Ta có: ΔBFC cân tại B
mà BD là đường phân giác
nên BD là đường trung tuyến của ΔBCF
Δ���:�=90∘ΔABC:A=90∘
��BD là phân giác của góc �B
��⊥��(�∈��)DE⊥BC(E∈AC)
��∩��={�}BA∩ED={F}
��∩��={�}BD∩FC={K}
a) Δ���=Δ���ΔBAD=ΔBED.
b) Δ���ΔBCF cân tại �B.
c) ��BD là đường trung tuyesn của Δ���ΔBCF.
a) Xét Δ���ΔBAD và Δ���ΔBED lần lượt vuông tại �A và �E.
��BD chung.
���^=���^ABD=EBD (��BD là tia phân giác).
Suy ra Δ���=Δ���ΔBAD=ΔBED (cạnh huyền - góc nhọn).
b) Vì Δ���=Δ���(�/�ΔBAD=ΔBED(c/m phần a) nên ��=��;��=��AD=ED;BA=BE (2)
Xét Δ���ΔAFD vuông tại �A và Δ���ΔECD vuông tại �E có:
��=��(���)AD=ED(cmt)
���^=���^ADF=EDC (đối đỉnh)
Suy ra Δ���=Δ���ΔAFD=ΔECD (cạnh góc vuông - góc nhọn)
Nên ��=��AF=EC (2).
Từ (1) và (2) suy ra ��+��=��+��AF+BA=BE+EC
Hay ��=��BF=BC
Vậy Δ���ΔBCF cân tại �B.
c) Giả sử ��BD kéo dài cắt ��FC tại �K
Xét Δ���ΔBKF và Δ���ΔBKC có:
��BK là cạnh chung
���^=���^KBF=KBC (Vì ��BD là phân giác của ���^ABC )
��=��BF=BC ( chứng minh phần �)b)
Suy ra Δ���=Δ���(ΔBKF=ΔBKC( c.g.c ))
Suy ra ��=��KF=KC (hai cạnh tương ứng)
Vậy ��BK hay ��BD là đường trung tuyến của Δ���ΔBCF.