A B C H M E F N

Gọi N là điểm đối xứng của E qua M. Khi đó ta có ngay tứ giác AEBN là hình bình hành

=> BE // AN hoặc HE // AN. Áp dụng hệ quả ĐL Thales vào \(\Delta\)ANF có:

\(\frac{FH}{FA}=\frac{EH}{AN}\). Vì AN = EB (Tứ giác AEBN là hình bình hành) nên \(\frac{FH}{FA}=\frac{EH}{EB}\) (1)

Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác (\(\Delta\)HBA) có \(\frac{EH}{EB}=\frac{AH}{AB}\)(2)

Dễ thấy ^CAE = ^HAE + ^CAH = ^BAE + ^ABC = ^AEC => \(\Delta\)ACE cân tại C => CA = CE

Ta lại có \(\Delta\)HAC ~ \(\Delta\)ABC (g.g) => \(\frac{AH}{AB}=\frac{CH}{CA}=\frac{CH}{CE}\) (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra \(\frac{FH}{FA}=\frac{CH}{CE}\)=> CF // AE (Theo ĐL Thales đảo) (đpcm).

a, ĐKXĐ \(x\ne0,1\)

\(B=\frac{1}{x\left(x-1\right)}+\frac{2x}{x\left(x-1\right)}+\frac{x-1}{x\left(x-1\right)}\)

\(=\frac{3x}{x\left(x-1\right)}=\frac{3}{x-1}\)

b, Để B nguyên thì \(3⋮x-1\)

\(\Rightarrow x-1\in\left\{1,3,-1,-3\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{2,4,0,-2\right\}\)

\(ĐKXĐ:m\ge0;m\ne1\)

\(a,M=\frac{\sqrt{m}-1}{\sqrt{m}+1}+\frac{\sqrt{m}+1}{\sqrt{m}-1}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{m}-1\right)^2+\left(\sqrt{m}+1\right)^2}{\left(\sqrt{m}+1\right)\left(\sqrt{m}-1\right)}\)

\(=\frac{m-2\sqrt{m}+1+m+2\sqrt{m}+1}{m-1}\)

\(=\frac{2m+2}{m-1}\)

b,Để M nguyên thì \(\frac{2m+2}{m-1}=\frac{2\left(m-1\right)}{m-1}+\frac{4}{m-1}=2+\frac{4}{m-1}\) nguyên

\(\Rightarrow m-1\inƯ\left(4\right)=\left\{1;2;4;-1;-2;-4\right\}\)

\(\Rightarrow m=\left\{2;3;5;0;-1;-3\right\}\)

\(KethopDKXD:m=\left\{2;3;5;0\right\}\)