Hệ đẳng cấp. Xét 2 TH: x = 0 và x khác 0.

+) Th1: x = 0 ---> không thỏa mãn

+) Th2: x khác 0 

Đặt: y = ax; z = bx ( a; b > 0)

ta có hệ mới:

\(\hept{\begin{cases}x^2\left(a^2+b^2\right)=50\\x^2\left(1+a+\frac{a^2}{2}\right)=169\\x^2\left(1+b+\frac{b^2}{2}\right)=144\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2+b^2}{1+a+\frac{a^2}{2}}=\frac{50}{169}\\\frac{1+a+\frac{a^2}{2}}{1+b+\frac{b^2}{2}}=\frac{169}{144}\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}144a^2-50a-50+169b^2=0\\144a^2+288a-50-169b^2-338b=0\end{cases}}\)

Lấy vế dưới trừ vế trên ta có:

\(338a-338b^2-338b=0\) <=> \(a=b^2+b\)  Thế vào 1 trong 2 phương trình ta có:

\(144\left(b^2+b\right)^2-50\left(b^2+b\right)-50+169b^2=0\)

<=> \(144b^4+288b^3+263b^2-50b-50=0\)

<=> \(\left(144b^4-25b^2\right)+\left(288b^3-50b\right)+\left(288b-50\right)=0\)

<=> \(\left(144b^2-25\right)\left(b^2+2b+2\right)=0\)

<=> \(144b^2-25=0\)

<=> \(b=\pm\frac{5}{12}\)

+) Với \(b=\frac{5}{12}\)ta có: \(a=\frac{85}{144}\)

Do đó:  \(x^2\left[\left(\frac{5}{12}\right)^2+\left(\frac{85}{144}\right)^2\right]=50\)

<=> \(x^2=\frac{41472}{433}\)

=> \(K=xy+yz+zx=ax^2+bx^2+abx^2=x^2\left(a+b+ab\right)\) Em thay vào tính

+) Tương tự với b = -5/12

\(\hept{\begin{cases}\left(m-1\right)x-y=2\\mx+y=m\end{cases}}\) ( \(m\ne0;m\ne1\))

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}mx-x-y=2\\mx=m-y\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m-2y-x=2\\y=m-mx\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=m-2y-2\\y=m-m\left(m-2y-2\right)\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=m-2y-2\\y=3m-m^2+2my\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=m-2y-2\\y=\frac{3m-m^2}{1-2m}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{-m-2}{1-2m}\\y=\frac{3m-m^2}{1-2m}\end{cases}}\)

Theo bài ra ta có : 2x + y < 0 \(\Leftrightarrow\frac{2\left(-m-2\right)}{1-2m}+\frac{3m-m^2}{1-2m}< 0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-m^2+m-4}{1-2m}< 0\Leftrightarrow\frac{-\left(m-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{15}{4}}{1-2m}< 0\)

Ta có : \(-\left(m-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{15}{4}< 0\)\(\Rightarrow1-2m< 0\Rightarrow m>\frac{1}{2}\)

Vậy \(m>\frac{1}{2}\left(m\ne1\right)\)

Gọi x là số xe của đội là a

Nếu toàn bộ xe  mỗi xe phải chở \(\frac{120}{a}\)(tấn hàng)

Mà khi chuyên chở phải chở:\(\frac{120}{\left(a-2\right)}\) (tấn hàng)

Theo đề bài ta có 

Khi chuyển chở đi nơi khác mỗi xe phải chở 16 tấn hàng nên ta lập PT sau:

\(\frac{120}{a}+16=\frac{120}{\left(a-2\right)}\)

giải PT sau ta được a=5 (xe)

Gọi số chiếc áo xí nghệp 1 làm xong 1 ngày là x (chiếc)

       số chiếc áo xí nghệp 2 làm xong 1 ngày là y (chiếc)

ĐK: \(0< x;y,x;y\in N\) 

Vì Xí nghiệp 1 may trong 5 ngày và xí nghiệp 2 may trong 3 ngày thì cả hai xí nghiệp may được 2620 chiếc áo nên ta có phương trình:

5x+3y=2620(1)

Vì trong 1 ngày xí nghiệp 2 may nhiều hơn xí nghiệp là 20 chiếc áo nên ta có phương trình:

y-x=20(2)

Từ (1) và (2) ta có hpt:\(\hept{\begin{cases}y-x=20\\5x+3y=2620\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=320\\y=340\end{cases}}}\)(TMĐK)

Vậy số áo xí nghệp 1 làm xong 1 ngày là  320 chiếc

       số áo xí nghệp 2 làm xong 1 ngày là 340 chiếc

Gọi số áo mà 2 xí nghiệp may trong một ngày lần lượt là x,y (cái x,y thuộc N*,x>20,x>y)

Ta có: Số áo mà xí nghiệp 1 may trong 5 ngày là:5x

Số áo mà xí nghiệp 2 may trong 3 ngày là:3y

Theo đề bài ta có HPT:

\(\hept{\begin{cases}x-y=-2\\5x+3y=2620\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1307}{4}\Rightarrow x=327\\y=\frac{1315}{4}\Rightarrow y=329\end{cases}}\left(cái\right)\)

Vậy

xí nghiệp 1 may được 327 cái áo mỗi ngày 

xí nghiệp 2: 329 cái áo mỗi ngày 

\(\hept{\begin{cases}\left(m+2\right)x+2y=5\\mx-y=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m+2\right)x+2y=5\left(1\right)\\2mx-2y=2\left(2\right)\end{cases}}}\)

Lấy (1) +(2) có:

\(\left(m+2\right)x+2mx=7\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2+2m\right)x=7\)

\(\Leftrightarrow\left(3m+2\right)x=7\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{7}{3m+2}\)

Để hệ có nghiệm nguyên duy nhất thì 3m+2 \(\ne\)0 <=> m\(\ne\frac{-2}{3}\)

\(m\inℤ\Rightarrow3m+2\inƯ\left(7\right)=\left\{-7;-1;1;7\right\}\)

ta có bảng

Vì m\(\in\)Z => m=-1; m=-3

\(\hept{\begin{cases}x^2-2x\sqrt{y}+2y=x\\y^2-2y\sqrt{z}+2z=y\\z^2-2z\sqrt{x}+2x=z\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x\sqrt{y}+2y+y^2-2y\sqrt{z}+2z+z^2-2z\sqrt{x}+2x=x+y+z\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{y}\right)^2+\left(y-\sqrt{z}\right)^2+\left(z-\sqrt{x}\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-\sqrt{y}=0\\y-\sqrt{z}=0\\z-\sqrt{x}=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\sqrt{y}\\y=\sqrt{z}\\z=\sqrt{x}\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=z=0\\x=y=z=1\end{cases}}\)

Hệ phương trình

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-3\right)^3=0\\\left(y-3\right)^3=0\\\left(z-3\right)^3=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=3\\z=3\end{cases}}}\)

\(hpt=>\hept{\begin{cases}x^3+y^3-9y^2+27y-27=y^3.\\y^3+z^3-9z^2-27x-27=z^3.\\z^3+x^3-9y^2-27y-27=x^3.\end{cases}}\)

\(=>\hept{\begin{cases}x^3=y^3-\left(y-3\right)^3\\y^3=z^3-\left(z-3\right)^3\\z^3=x^3-\left(x-3\right)^3\end{cases}}\)

Do vai trong của x, y , z như nhau nên ta giả sử x=max{x,y,z}

Do giả sử ta có 

\(=>\hept{\begin{cases}x^3\ge z^3\\-\left(y-3\right)^3\ge\left(x-y\right)^3\end{cases}}\)

=>\(\hept{\begin{cases}y^3-\left(y-3\right)^3\ge x^3-\left(x-3\right)^3\\-\left(y-3\right)^3\ge-\left(x-3\right)^3\end{cases}}\)

=>\(y^3\ge x^3=>y\ge x\)

Từ đây , ta suy ra x=y=z

Thay zô 1 pt bất kì tao tìm được x=y=z=3

Vậy nghiệm duy nhất của hệ phương trình là x=y=z=3