a: ΔABC vuông cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM là phân giác của góc BAC

=>\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}=\dfrac{90^0}{2}=45^0\)

Xét tứ giác ADME có \(\widehat{EMD}+\widehat{EAD}=90^0+90^0=180^0\)

nên ADME là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{MAD}=\widehat{MED};\widehat{MDE}=\widehat{MAE}\)

mà \(\widehat{MAD}=\widehat{MAE}=45^0\)

nên \(\widehat{MED}=\widehat{MDE}=45^0\)

=>MD=ME

b: Kẻ DF\(\perp\)AB(F\(\in\)BC)

mà AC\(\perp\)AB

nên DF//AC

DF//AC

=>\(\widehat{DFB}=\widehat{ACB}\)

mà \(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\)

nên \(\widehat{DFB}=\widehat{FBD}\)

=>ΔDFB cân tại D

=>DF=DB

mà DB=CK

nên DF=CK

Xét tứ giác DFKC có

DF//CK

DF=CK

Do đó: DFKC là hình bình hành

=>DK cắt FC tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của DK và FC

Lời giải:

$ac=b^2\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{b}{c}$

$bd=c^2\Rightarrow \frac{b}{c}=\frac{c}{d}$

$\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}$

Đặt $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk; b=ck; c=dk$
Khi đó:

$\frac{a}{d}=\frac{bk}{d}=\frac{ck^2}{d}=\frac{dk^3}{d}=k^3(1)$

Lại có:

$(\frac{2a+3b-c}{2b+3c-d})^3=(\frac{2bk+3b-c}{2ck+3c-d})^3=(\frac{2ck^2+3ck-c}{2dk^2+3dk-d})^3$
$=[\frac{c(2k^2+3k-1)}{d(2k^2+3k-1)}]^3=(\frac{c}{d})^3=(\frac{dk}{d})^3=k^3(2)$
Từ $(1); (2)$ ta có đpcm.

\(\sqrt{2022\cdot2024}=\sqrt{\left(2023-1\right)\left(2023+1\right)}\)

\(=\sqrt{2023^2-1}< \sqrt{2023^2}=2023\)

10x=15y=21z

=>\(\dfrac{10x}{210}=\dfrac{15y}{210}=\dfrac{21z}{210}\)

=>\(\dfrac{x}{21}=\dfrac{y}{14}=\dfrac{z}{10}\)

mà 3x-7y+5z=30

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{21}=\dfrac{y}{14}=\dfrac{z}{10}=\dfrac{3x-7y+5z}{3\cdot21-7\cdot14+5\cdot10}=\dfrac{30}{15}=2\)

=>\(x=2\cdot21=42;y=2\cdot14=28;z=2\cdot10=20\)

\(10x=15y=21z\Rightarrow\dfrac{10x}{210}=\dfrac{15y}{210}=\dfrac{21z}{210}\Rightarrow\dfrac{x}{21}=\dfrac{y}{14}=\dfrac{z}{10}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{x}{21}=\dfrac{y}{14}=\dfrac{z}{10}=\dfrac{3x}{63}=\dfrac{7y}{98}=\dfrac{5z}{50}=\dfrac{3x-7y+5z}{63-98+50}=\dfrac{30}{15}=2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=21.2=42\\y=14.2=28\\z=10.2=20\end{matrix}\right.\)

\(ac=b^2\)

=>\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}\)

\(bd=c^2\)

=>\(\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}\)

=>\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=k\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}c=dk\\b=ck=dk\cdot k=dk^2\\a=bk=dk^3\end{matrix}\right.\)

\(\left(\dfrac{2a+3b-c}{2b+3c-d}\right)^3=\left(\dfrac{2\cdot dk^3+3\cdot dk^2-dk}{2\cdot dk^2+3\cdot dk-d}\right)^3\)

\(=\left(\dfrac{dk\left(2k^2+3k-1\right)}{d\left(2k^2+3k-1\right)}\right)^3=k^3\)

\(\dfrac{a}{d}=\dfrac{dk^3}{d}=k^3\)

Do đó: \(\dfrac{a}{d}=\left(\dfrac{2a+3b-c}{2b+3c-d}\right)^3\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=\dfrac{x+y+z}{1}=x+y+z\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=a\left(x+y+z\right)\\y=b\left(x+y+z\right)\\z=c\left(x+y+z\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=a^2\left(x+y+z\right)^2\\y^2=b^2\left(x+y+z\right)^2\\z^2=c^2\left(x+y+z\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=a^2\left(x+y+z\right)^2+b^2\left(x+y+z\right)^2+c^2\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=1.\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\)

a) 

\(P\left(x\right)=6x^4+2x+4x^3-3x^2-10+x^3+3x\)

\(=6x^4+\left(4x^3+x^3\right)-3x^2+\left(2x+3x\right)-10\)

\(=6x^4+5x^3-3x^2+5x-10\)

\(Q\left(x\right)=4-5x^3+2x^2-x^3+5x^4+11x^3-4x\)

\(=5x^4+\left(-5x^3-x^3+11x^3\right)+2x^2-4x+4\)

\(=5x^4+5x^3+2x^2-4x+4\)

b) 

\(P\left(x\right)+Q\left(x\right)\)

\(=\left(6x^4+5x^3-3x^2+5x-10\right)+\left(5x^4+5x^3+2x^2-4x+4\right)\)

\(=6x^4+5x^3-3x^2+5x-10+5x^4+5x^3+2x^2-4x+4\)

\(=\left(6x^4+5x^4\right)+\left(5x^3+5x^3\right)+\left(-3x^2+2x^2\right)+\left(5x-4x\right)+\left(-10+4\right)\)

\(=11x^4+10x^3-x^2+x-6\)

\(P\left(x\right)-Q\left(x\right)\)

\(=\left(6x^4+5x^3-3x^2+5x-10\right)-\left(5x^4+5x^3+2x^2-4x+4\right)\)

\(=6x^4+5x^3-3x^2+5x-10-5x^4-5x^3-2x^2+4x-4\)

\(=\left(6x^4-5x^4\right)+\left(5x^3-5x^3\right)+\left(-3x^2-2x^2\right)+\left(5x+4x\right)+\left(-10-4\right)\)

\(=x^4-5x^2+9x-14\)

Gọi x (ngày) là số ngày 12 công nhân đóng xong chiếc tàu (x > 0)

Do số công nhân có năng suất làm như nhau và cùng đóng một chiếc tàu nên số công nhân và số ngày đóng xong chiếc tàu là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

⇒ x.12 = 20.60

x.12 = 1200

x = 1200 : 12

x = 100 (nhận)

Vậy 12 công nhân đóng xong chiếc tàu trong 100 ngày

Gọi x (ngày) là số ngày 12 công nhân đóng xong chiếc tàu (x > 0)

Do số công nhân có năng suất làm như nhau và cùng đóng một chiếc tàu nên số công nhân và số ngày đóng xong chiếc tàu là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

⇒ x.12 = 20.60

x.12 = 1200

x = 1200 : 12

x = 100 (nhận)

Vậy 12 công nhân đóng xong chiếc tàu trong 100 ngày

Gọi x (giờ) là số giờ 15 người làm cỏ xong cánh đồng (x > 0)

Do số người có cùng năng suất và cùng làm cỏ một cánh đồng nên số người và số giờ làm cỏ xong cánh đồng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

⇒ x.15 = 10.3

x.15 = 30

x = 30 : 15

x = 2 (nhận)

Vậy 15 người làm cỏ cánh đồng đó xong trong 2 giờ

15 người sẽ làm cỏ cánh đồng đó xong trong:

\(10\cdot3:15=2\left(giờ\right)\)

Sửa đề: x=1 là nghiệm của P(x)

\(P\left(1\right)=a\cdot1^2+b\cdot1+c=a+b+c=0\)
=>x=1 là nghiệm của P(x) khi a+b+c=0