\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+2x\sqrt{y}+2y\sqrt{x}\)

\(=\left(\sqrt{x^3}+\sqrt{y^3}\right)+\left(2x\sqrt{y}+2y\sqrt{x}\right)\)

\(=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)+2\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)

\(=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)\)

\(1,2x-5\sqrt{x}+2=2x-4\sqrt{x}-\sqrt{x}+2\)

\(=2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)-\left(\sqrt{x}-2\right)\)

\(=\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)\)

\(2,\sqrt{x^3}-\sqrt{x}+2x-2=x\sqrt{x}-\sqrt{x}+2x-2\)

\(=\sqrt{x}\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)\)

\(=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)\)

\(\)

Vậy \(x^5+x+1\)chia cho \(x^3-x\) dư \(2x+1\)

Ta có: \(x^3-x=x\left(x^2-1\right)=\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\)

Để ý rằng đa thức chia là đa thức bậc 3 nên đa thức dư có bậc cao nhất là 2. Giả sử đó là ax² + bx + c. 

Khi đó ta có \(x^5+x+1=\left(x-1\right)x\left(x+1\right).Q\left(x\right)+ax^2+bx+c\)

Do đẳng thức trên đúng với mọi x nên

Với x = 1 thì \(a+b+c=3\)(1)

Với x = 0 thì \(c=1\)

Với x = -1 thì -1 = a - b + c (2)

Thay c = 1 vào (1) và (2) ta được \(\hept{\begin{cases}a+b+1=3\\a-b+1=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2\\a-b=-2\end{cases}}\Leftrightarrow2a=0\Leftrightarrow a=0\Rightarrow b=2\)

Vậy đa thức dư là \(0x^2+2x+1=2x+1\)