a) Ta có: \(\left|x+2\right|+\left|x-5\right|=\left|x+2\right|+\left|5-x\right|\ge\left|x+2+5-x\right|=\left|7\right|=7\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(5-x\right)\ge0\)

TH1: \(\hept{\begin{cases}x+2\ge0\\5-x\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-2\\5\ge x\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-2\\x\le5\end{cases}}\Leftrightarrow-2\le x\le5\)

TH2: \(\hept{\begin{cases}x+2< 0\\5-x< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x< -2\\5< x\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x< -2\\x>5\end{cases}}\)( vô lý )

Vậy \(-2\le x\le5\)

B = a³ + b³ + c³ - ( a + b + c )

= a³ + b³ + c³ - a - b - c

= ( a³ - a ) + ( b³ - b ) + ( c³ - c )

= a( a² - 1 ) + b( b² - 1 ) + c( c² - 1 ) 

= ( a - 1 )a( a + 1 ) + ( b - 1 )b( b + 1 ) + ( c - 1 )c( c + 1 )

Vì ( a - 1 ) ; a ; ( a + 1 ) là ba số nguyên liên tiếp

=> sẽ có 1 số ⋮ 2 và 1 số ⋮ 3

mà (2;3) = 6 => ( a - 1 )a( a + 1 ) ⋮ 6

CMTT ta có được ( b - 1 )b( b + 1 ) ⋮ 6 và ( c - 1 )c( c + 1 ) ⋮ 6

=> ( a - 1 )a( a + 1 ) + ( b - 1 )b( b + 1 ) + ( c - 1 )c( c + 1 ) ⋮ 6

hay B = a³ + b³ + c³ - ( a + b + c ) ⋮ 6

\(B=a^3+b^3+c^3-\left(a+b+c\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3-a-b-c\)

\(=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)\)

\(=a\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-1\right)+c\left(c^2-1\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c+1\right)\)

Vì \(a\), \(a-1\), \(a+1\)là 3 số nguyên liên tiếp 

\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮2\)và \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮3\)

mà \(\left(2;3\right)=1\)\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮6\)

Chứng minh tương tự: \(b\left(b-1\right)\left(b+1\right)⋮6\), \(c\left(c-1\right)\left(c+1\right)⋮6\)

\(\Rightarrow B=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c+1\right)⋮6\)

\(\Rightarrow B⋮6\)( đpcm )

Đặt \(A=1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+......+\frac{1}{1+2+3+........+n}\)

Ta có: \(1+2=\frac{2.3}{2}\); \(1+2+3=\frac{3.4}{2}\);...........; \(1+2+3+......+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

\(\Rightarrow A=1+\frac{1}{\frac{2.3}{2}}+\frac{1}{\frac{3.4}{2}}+.....+\frac{1}{\frac{n\left(n+1\right)}{2}}\)

\(=1+\frac{2}{2.3}+\frac{2}{3.4}+......+\frac{2}{n\left(n+1\right)}\)

\(=1+2\left[\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+.......+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]\)

\(=1+2.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+........+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)

\(=1+2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}\right)=1+1-\frac{2}{n+1}=2-\frac{2}{n+1}< 2\)( đpcm )

\(y=f\left(x\right)=x^3+2x\)

Theo bài ra ta có : \(f\left(x\right)=0\)

hay \(x^3+2x=0\Leftrightarrow x\left(x^2+2\right)=0\)

TH1 : \(x=0\)

TH2 : \(x^2+2=0\Leftrightarrow x^2=-2\)vô lí 

vì \(x^2\ge0\forall x;-2< 0\)

Vậy x = 0 f(x) nhận giá trị 0 

Để \(f\left(x\right)=0\)thì \(x^3+2x=0\)\(\Rightarrow x\left(x^2+2\right)=0\)

Vì \(x^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow x^2+2\ge2\forall x\)\(\Rightarrow x=0\)

Vậy với \(x=0\)thì \(y=f\left(x\right)=0\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : 

\(\frac{x}{5}=\frac{y}{7}=\frac{z}{3}=\frac{x^2+y^2-z^2}{5^2+7^2-3^2}=\frac{585}{65}=9\)

\(x=45;y=63;z=27\)

Từ \(\frac{x}{5}=\frac{y}{7}=\frac{z}{3}\)(1)\(\Rightarrow\left(\frac{x}{5}\right)^2=\left(\frac{y}{7}\right)^2=\left(\frac{z}{3}\right)^2=\frac{x^2}{25}=\frac{y^2}{49}=\frac{z^2}{9}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x^2}{25}=\frac{y^2}{49}=\frac{z^2}{9}=\frac{x^2+y^2-z^2}{25+49-9}=\frac{585}{65}=9\)

\(\Rightarrow x^2=25.9=225\)\(\Rightarrow x=\pm15\)

\(y^2=49.9=441\)\(\Rightarrow y=\pm21\)

\(z^2=9.9=81\)\(\Rightarrow z=\pm9\)

Từ (1) \(\Rightarrow x,y,z\)phải có cùng dấu âm hoặc dương

Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(-15;-21;-9\right),\left(15;21;9\right)\)

                             

Kẻ \(AH\perp BC\)

Xét \(\Delta ABH\)vuông tại H có \(\widehat{B}=60^o\)\(\Rightarrow\widehat{BAH}=90^o-60^o=30^o\)

Áp dụng nhận xét: trong 1 tam giác vuông, cạnh đối diện với góc \(30^o\)bằng \(\frac{1}{2}\)cạnh huyền

Ta có: \(\Delta ABH\)vuông tại H có \(\widehat{BAH}=30^o\)

\(\Rightarrow BH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.5=2,5\)( cm )

\(\Rightarrow CH=BC-BH=8-2,5=5,5\)( cm )

Xét \(\Delta ABH\)vuông tại H \(\Rightarrow AH^2+BH^2=AB^2\)

\(\Rightarrow AH^2=AB^2-BH^2=5^2-2,5^2=18,75\)

Xét \(\Delta ACH\)vuông tại H \(\Rightarrow AH^2+HC^2=AC^2\)

\(\Rightarrow AC^2=18,75+5,5^2=18,75+30,25=49\)

\(\Rightarrow AC=7cm\)

Vậy \(AC=7cm\)

Ta có (2x + 1 - x²) + 4x³ + x² - 1

= 2x + 1 - x² + 4x³ + x² - 1

= 4x³ + (x² - x²) + 2x + (1 - 1)

= 4x³ + 2x (1)

Thay x = -2 vào (1) ta được

4x³ + 2x = 4.(-2)³ + 2.(-2) = -32 + (-4) = -36

\(\left(2x+1-x^2\right)+\left(4x^3+x^2-1\right)\)

Thay x = -2 ta được : 

\(\left(-2.2+1-\left(-2\right)^2\right)+\left(4\left(-2\right)^3+\left(-2\right)^2-1\right)\)

\(=-4+1-4-32+4-1=-36\)