#)Giải : (Thử nhé, k đúng thì thui :v)

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz dạng engel :

\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)

Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=\frac{2}{3}\)

bó tay

chúng cơm chúng à

các số nguyên tố có tận cùng là 1,3,7,9

vì p có có mũ là 20 

nên có tận cùng là 01

\(\Rightarrow p^{20}-1⋮100\)

#)Giải : 

\(x^3-3x^2+x+2\)

\(=x^3-2x^2-x^2+2x-x+2\)

\(=x^2\left(x-2\right)-x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left(x^2-x-1\right)\)

Để \(x^3-3x^2+x+2\) là số chính phương \(\Leftrightarrow x-2=x^2-x-1\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\Leftrightarrow x=1\)

Em thử, sai thì thôi nha, chỗ đặt xong rồi thay vào P em ko biết mình có tính đúng hay sai nữa!

giả thiết \(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\).

Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\) thì a + b + c = 2; a, b, c > 0 và:

\(P=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{2}{2}=1\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2/3 hay \(x=y=z=\frac{3}{2}\)

Để hàm số  y = (2m + 1).x + 3 nghịch biến trên R 

\(\Rightarrow2m+1< 0\)

\(\Leftrightarrow2m< -1\)

\(\Leftrightarrow m< -\frac{1}{2}\)

Để hàm số \(y=\frac{2m+1}{2m-1}x+1\) đồng biến trên R

\(\Rightarrow\frac{2m+1}{2m-1}>0\)

TH1: \(\orbr{\begin{cases}2m+1>0\\2m-1>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m>-\frac{1}{2}\\m>\frac{1}{2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow m>\frac{1}{2}\)

TH2:\(\orbr{\begin{cases}2m+1< 0\\2m-1< 0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m< -\frac{1}{2}\\m< \frac{1}{2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow m< -\frac{1}{2}\)

trong này x không liên quan j ah?

\(ĐKXĐ:\)

\(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x-1\ne0\\\sqrt{x}-1\ne0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)

\(P=\left(\frac{x\sqrt{x}+1}{x-1}-\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}\right):\left(\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right)\)

\(=\left(\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-1}\right):\left(\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right)\)

\(=\frac{x-\sqrt{x}+1-x+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)}:\frac{x-\sqrt{x}+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{x-\sqrt{x}+1-x+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)}:\frac{x}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{2-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)}.\frac{\sqrt{x}-1}{x}\)

\(=\frac{2-\sqrt{x}}{x}\)