Thay \(xy+yz+zx=5\) vào P, ta có:

\(P=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{6\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

\(\sqrt{6\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\frac{3\left(x+y\right)+2\left(x+z\right)}{2}\)

\(\sqrt{6\left(y+z\right)\left(y+x\right)}\le\frac{3\left(y+x\right)+2\left(y+z\right)}{2}\)

\(\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\le\frac{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}{2}\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức cùng chiều, ta đươc:

\(\sqrt{6\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{6\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\le\frac{9}{2}x+\frac{9}{2}y+3z\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{3x+3y+2z}{\frac{9}{2}x+\frac{9}{2}y+3z}=\frac{3x+3y+2z}{\frac{3}{2}\left(3x+3y+2z\right)}=\frac{2}{3}\)

Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}3\left(x+y\right)=2\left(y+z\right)=2\left(z+x\right)\\z+y=z+x\\xy+yz+zx=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=1\\z=2\end{cases}}}\)

\(P=\frac{x}{2y+z}+\frac{y}{2z+x}+\frac{z}{2x+y}\)

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có

\(P=\frac{x^2}{2xy+zx}+\frac{y^2}{2yz+xy}+\frac{z^2}{2z+yz}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Gọi h/s cần tìm có dạng: y = ax + b (a khác 0)

PT hoành độ giao điểm của d1 và d2 là: 2x - 1 = x <=> x = 1

Thay x = 1 vào hs y = x ta dc y = 1

Vậy giao điểm của d1 và d2 có tọa độ là (1;1)

Vì hs cần tìm // vs d3 nên a = -3 và b khác 2

và hs cần tìm đi qua giao điểm của d1 và d2 nên thay x = 1; y = 1 vào hs y = ax + b ta dc: a + b = 1

hay -3 + b = 1 => b = 4

Vậy h/s cần tìm là: y = -3x + 4

PTHĐGĐ của (d₁) và (d₂):

x = 2x - 1

<=> x = 1

thay x = 1 vào (d₂) ta được y = 1

=> điểm (1; 1) là giao điểm của (d₁) và (d₂)

gọi (d) : ax + b

do (d) // (d₃) và đi qua giao điểm của (d₁) và (d₂)

=> (d) // (d₃) nên a = a' hay a = -3

và b # b' hay b # 2 

lại có a + b = 1 => b = 4 (thỏa)

vậy (d): -3x + 4

ĐKXĐ: x > 0 và x \(\ne1\)

P = 1 hay \(\frac{3\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}=1\)

<=> \(x-\sqrt{x}=3\sqrt{x}\) <=> \(x-4\sqrt{x}=0\) <=> \(\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-4\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=0\\\sqrt{x}=4\end{cases}}\) <=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\left(KTM\right)\\x=16\left(TM\right)\end{cases}}\)

Vậy x = 16 thì ...

\(P=\frac{3\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}\)

điều kiện xác định: \(x\ne1;0\)

PT <=> \(P=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{3}{\sqrt{x}-1}\)

để P = 1 hay \(\frac{3}{\sqrt{x}-1}=1\)

<=>\(\frac{3}{\sqrt{x}-1}-1=0\)

<=> \(\frac{3-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=0\)

<=> \(\frac{4-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}=0\)

<=> \(4-\sqrt{x}=0\)

<=> \(\sqrt{x}=4\)

<=> x = 16 (thỏa mãn điều kiện)

vậy ...

<=> (x² - 2x)² + x² - 2x + 1 - 13 = 0

<=> (x² - 2x)² + x² - 2x - 12 = 0

Đặt t = x² - 2x

Khi đó ta có pt: t² + t - 12 = 0

<=> t² + 4t - 3t - 12 = 0

<=> (t - 3)(t + 4) = 0 <=> \(\orbr{\begin{cases}t=3\\t=-4\end{cases}}\)

*Với t = 3 ta có: x² - 2x = 3

<=> x² - 2x - 3 = 0

<=> (x - 3)(x + 1) = 0 <=> \(\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-1\end{cases}}\)

*Với t = -4 ta có: x² - 2x = -4

<=> x² - 2x + 4 = 0

<=> (x - 1)² + 3 = 0 (Vô nghiệm)

Vậy S = {3;-1}

(x²-2x)² + (x-1)² - 13 = 0

<=> x^4 - 4x^3 + 4x^2 + x^2 - 2x + 1 - 13 = 0

<=>  x^3 - 4x^3 + 5x^2 - 2x - 12 = 0

<=> x^4 + x^3 - 5x^3 - 5x^2 + 10x^2 + 10x - 12x - 12 = 0

<=>  x^3(x + 1) - 5x^2(x + 1) + 10x(x + 1) - 12(x + 1) = 0

<=>  (x^3 - 5x^2 + 10x - 12)(x + 1) = 0

<=> (x^3 - 3x^2 - 2x^2 + 6x + 4x - 12)(x + 1) = 0

<=>  [x^2(x - 3) - 2x(x - 3) + 4(x - 3)](x + 1) = 0

<=>  (x^2 - 2x + 4)(x - 3)(x + 1) = 0

có x^2 - 2x + 4 = (x - 1)^2 + 3 lớn hơn 0

<=> x - 3 = 0 hoặc x + 1 = 0

<=>  x = 3 hoặc x = -1

Em dùng AM-GM nhá,em ko dùng cosi đâu ha :)

\(S=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}\)

\(=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=\left(\frac{x}{\sqrt{y}}+\sqrt{y}\right)+\left(\frac{y}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)

\(\ge2\sqrt{x}+2\sqrt{y}-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

Lại có:

\(S=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}\)

\(=\frac{1-y}{\sqrt{y}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}-\sqrt{x}-\sqrt{y}\)

Khi đó:\(2S\ge\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge\frac{2}{\sqrt[4]{xy}}\ge\frac{2}{\sqrt{\frac{x+y}{2}}}=2\sqrt{2}\Rightarrow S\ge\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y=¹/₂