a) xét tam giác AMI zà tam giác ABD có

góc BAD chung

xét tam giác ABD có tia phân giác DM

=>\(\frac{AM}{MB}=\frac{AD}{BD}\left(1\right)\)

xét tam giac ADC có tia phân giác DN

\(\frac{AN}{NC}=\frac{AD}{DC}\left(2\right)\)

mà BD=DC (gt ) (3 )

từ 1 ,2 ,3  suy ra

\(\frac{AN}{NC}=\frac{AM}{MB}=\frac{AD}{DC}\)

=> MN//BC 

b) Tam giác ABD có MI//BD

=> \(\frac{AM}{AB}=\frac{AI}{AD}=\frac{MI}{BD}\left(4\right)\)

tam giác ADC có IN//DC

=>\(\frac{AN}{AC}=\frac{AI}{DC}=\frac{IN}{DC}\left(5\right)\)

từ (4) ,(5) suy ra

\(\frac{MI}{BD}=\frac{IN}{DC}=\frac{AI}{AD}\)

mà BD=DC

=> MI=NI

=> I là trung điểm của MN

zì tam giác ABC có tia phân giác AM 

=>\(\frac{BM}{MC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)(1)

mà BM+MC=11 (2)

Từ 1 zà 2 ta có hệ phương trình

\(\hept{\begin{cases}MB+MC=11\\\text{4MB-3MC=0 }\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}MB=\frac{33}{7}\\MC=\frac{44}{7}\end{cases}}\)

Bài 1 bạn tự làm nhé

Bài 2 :

 

Xét \(\Delta\)ADE vuông tại E :

                    AE < AD               (1)

Xét \(\Delta\)CDF vuông tại F       

                  CF < CD                (2)

Từ (1) và (2) => AE + CF < AD + CD = AC

Bài 3 :

 

Ta có : \(BM=BC\)=> \(\Delta\)BMC cân ở C nên \(\widehat{MCB}=\widehat{CMB}\)

Ta lại có : \(\widehat{BCM}+\widehat{MCA}=90^0,\widehat{CMH}+\widehat{MCH}=90^0\)

=> \(\widehat{MCH}=\widehat{MCN}\)

Xét \(\Delta\)MHC và \(\Delta\)MNC có :

MC chung

HC = NC(gt)

\(\widehat{MCH}=\widehat{MCN}\)(cmt)

=> \(\Delta\)MHC = \(\Delta\)MNC(c.g.c) 

Do đó \(\widehat{MNC}=\widehat{MHC}=90^0\)

hay MN \(\perp\)AC

Ta có : BM = BC,CH = CN và AM > AN

Do đó BM + MA + CH > BC + CN + NA hay AB + CH > BC + CA

\(x^2+y^2=1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=1\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có

\(\left(x+y\right)^2-\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\le1\)\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\Rightarrow0< x+y\le\sqrt{2}\)

Ta có:

\(x^3+27+\left(x+3\right)\left(x-9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)+\left(x+3\right)\left(x-9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9+x-9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(x^2-2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+3\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=0;x=-3;x=2\)

zì BD là phân giác cua góc B

\(=>\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{DC}\)

CE là tia phân giác góc E

\(=>\frac{AE}{EB}=\frac{AC}{BC}=\frac{AB}{BC}\)

\(=>\frac{AD}{DC}=\frac{AE}{EB}=>DE//BC\)( định lý ta lét đào )

\(=>\widehat{EDB}=\widehat{DBC}\left(soletrong\right)\)

mà \(\widehat{DBC}=\widehat{EBD}\)( phân giác )

\(=>\widehat{EBD}=\widehat{EDB}=>\Delta EBD\left(cân\right)\)

=> ED=EB=10cm

theo định lý ta lét : do ED//BC

\(\frac{ED}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac{AB-EB}{AB}=>\frac{AB-10}{AB}=\frac{10}{16}=>AB=26.67\)

khúc cuối là sao nhỉ

Bài này bạn làm theo phương pháp chứng minh chặn dưới

Từ gt => Ít nhất 1 trong 3 số a,b,c không lớn hơn 1 (Nếu ngược lại thì a²+b²+c²+abc>4)

Giả sử đó là a thì:

ab+bc+ca-abc=a(b+c)+bc(1-a) \(\ge0\)

Tiếp theo bạn chứng minh chặn trên. Đk giả thiết cho có thể viết lại là

\(\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{4}+2\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{b}{2}\cdot\frac{c}{2}=1\)

Do vậy tồn tại \(\Delta\)ABC không tù sao cho a=2cosA, b=2cosB, c=2cosC. BĐT cần chứng minh trở thành

2cosAcosB+2cosBcosC+2cosCcosA-4cosAcosBcosC \(\le\)1(1)

Có 2 trong 3 góc A,B,C không lớn hơn 60^o hoặc không nhỏ hơn 60^o

Không mất tính tổng quát giả sử 2 góc đó là góc A và B, khi đó:

(1-2cosA)(1-2cosB) \(\ge\)0

Mặt khác, ta có BĐT (1) tương đương với

cos(A+B)+cos(A-B)+(2cosA+2cosB-4cosAcosB)cosC \(\le\)1

cos(A-B)+(2cosA+2cosB-4cosAcosB-1)cosC\(\le\)1

cos(A-B)-(1-2cosA)(1-2cosB)cosC \(\le\)1

Do (1-2cosA)(1-2cosB) \(\ge\)0; cosC\(\ge\)0 và cos(A-B) \(\le\)1 nên BĐT  cuối hiển nhiên đúng

=> ĐPCM

Cách giải: Khánh Hoàng (khanhtuqq)

Đỉnh quá Quỳnh ơi

a)3x-2=2x-3           

   3x-2x=-3+2

          x=-1

Vậy x=-1

b)3-4y+24+6y=y+27+3y

   3+24-27=y+3y+4y-6y

               0=2y

             0:2=y

                0=y

Vậy y=0            

c) 7-2x=22-3x

    -2x+3x=22-7

              x=15

Vậy x=15            

d) 8x-3=5x+12

    8x-5x=12+3

          3x=15

            x=15:3

            x=5

Vậy x=5